Produktmål: Lebesgue og tellemål
Lagt inn: 28/05-2014 19:08
Hei. Har en oppgave som lyder som følger (min oversettelse):
La $X=Y=[0,1]$, la $\mu$ være Lebesgue-målet på $X$, og la $\nu$ være tellemålet. La $E=\{(x,y)\in X\times Y|x=y\}$, og vis at $\int\nu(E_x)d\mu(x)$, $\int\mu(E^y)d\nu(y)$, og $\mu\times\nu(E)$.
(Her er $E_x=\{y\in Y|(x,y)\in E\}$ og $E^y=\{x\in X|(x,y)\in E\}$.)
Integralene går greit. Det er $\mu\times\nu(E)$ jeg har kommet hit for å spørre om.
Jeg har for øvrig også tilgang til et løsningforslag. Det lyder slik:
For å finne $\mu\times\nu(E)$ må vi overdekke $E$ med en familie $\mathcal{C}=\{C_n\}$, $C_n=A_n\times B_n$, der $A_n\subseteq X$ og $B_n\subseteq Y$ er målbare m.h.p. $\mu$ og $\nu$, dvs. $E\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\times B_n$. La $N_0=\{n\in\mathbb{N}|\mu(A_n)=0\}$ og sett $A=\bigcup_{n\in N_0}A_n\subseteq X$. Da er $\mu(A)=0$ og hvis vi setter $B=I\setminus A$ [Denne $I$-en dukker opp her uten forvarsel. Skal det være $I=[0,1]$?], så er $\mu(B)=1$. Videre er $\{C_n\}_{n\not\in N_0}$ en overdekning av $B\times B$. Dette betyr at $B\subseteq\bigcup_{n\not\in N_0}B_n$ og siden $\mu(B)=1$, må det finnes en $n_0\in N_0$ slik at $\mu(B_{n_0})>0$, men da er $B_{n_0}$ ikke endelig, dvs $\nu(B_{n_0})=\infty$ og dermed
$\lambda(A_{n_0}\times B_{n_0}):=\mu(A_{n_0})\nu(B_{n_0})=\infty$
siden $\mu(A_{n_0})>0$. Dette viser at $\mu\times\nu^*(E)=\infty$ [dette er ytremålet]. Hvis vi antar at $E$ er målbar (dette er ikke opplagt!) følger det at $\mu\times\nu(E)=\infty$.
Spørsmålet mitt til dette er: Hvorfor må $\{C_n\}_{n\not\in N_0}$ være en overdekning av $B\times B$? (Om jeg har tolket den $I$-en riktig er jo forsåvidt en annen sak.)
La $X=Y=[0,1]$, la $\mu$ være Lebesgue-målet på $X$, og la $\nu$ være tellemålet. La $E=\{(x,y)\in X\times Y|x=y\}$, og vis at $\int\nu(E_x)d\mu(x)$, $\int\mu(E^y)d\nu(y)$, og $\mu\times\nu(E)$.
(Her er $E_x=\{y\in Y|(x,y)\in E\}$ og $E^y=\{x\in X|(x,y)\in E\}$.)
Integralene går greit. Det er $\mu\times\nu(E)$ jeg har kommet hit for å spørre om.
Jeg har for øvrig også tilgang til et løsningforslag. Det lyder slik:
For å finne $\mu\times\nu(E)$ må vi overdekke $E$ med en familie $\mathcal{C}=\{C_n\}$, $C_n=A_n\times B_n$, der $A_n\subseteq X$ og $B_n\subseteq Y$ er målbare m.h.p. $\mu$ og $\nu$, dvs. $E\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\times B_n$. La $N_0=\{n\in\mathbb{N}|\mu(A_n)=0\}$ og sett $A=\bigcup_{n\in N_0}A_n\subseteq X$. Da er $\mu(A)=0$ og hvis vi setter $B=I\setminus A$ [Denne $I$-en dukker opp her uten forvarsel. Skal det være $I=[0,1]$?], så er $\mu(B)=1$. Videre er $\{C_n\}_{n\not\in N_0}$ en overdekning av $B\times B$. Dette betyr at $B\subseteq\bigcup_{n\not\in N_0}B_n$ og siden $\mu(B)=1$, må det finnes en $n_0\in N_0$ slik at $\mu(B_{n_0})>0$, men da er $B_{n_0}$ ikke endelig, dvs $\nu(B_{n_0})=\infty$ og dermed
$\lambda(A_{n_0}\times B_{n_0}):=\mu(A_{n_0})\nu(B_{n_0})=\infty$
siden $\mu(A_{n_0})>0$. Dette viser at $\mu\times\nu^*(E)=\infty$ [dette er ytremålet]. Hvis vi antar at $E$ er målbar (dette er ikke opplagt!) følger det at $\mu\times\nu(E)=\infty$.
Spørsmålet mitt til dette er: Hvorfor må $\{C_n\}_{n\not\in N_0}$ være en overdekning av $B\times B$? (Om jeg har tolket den $I$-en riktig er jo forsåvidt en annen sak.)