Hei,
Jeg sitter og prøver å sette meg inn i [tex]\varepsilon-\delta[/tex]-definisjonen av grenseverdier. I den sammenheng har jeg støtt på et problem jeg ikke klarer å løse.
[tex]\lim_{x\rightarrow0}(x^{2}+2)=2[/tex]
Slik jeg har forstått det, er dette en måte å starte på:
Gitt [tex]\epsilon>0[/tex].
[tex]\mid f(x)-L\mid<\epsilon[/tex]
[tex]\mid(x^{2}+2)-2\mid<\epsilon[/tex]
[tex]\mid x^{2}\mid<\epsilon[/tex]
Hva skjer etter dette?
Grenseverdi, epsilon-delta
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Du ønsker å vise at $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=L$ og dette skal gjøres med $\epsilon - \delta$ definisjonen.
Det som må vises da er at for enhver $\epsilon$ (uansett hvor liten) kan vi finne en $\delta$ slik at når
$|x-0|=|x|<\delta$ så er $|f(x)-L|<\epsilon$. Du har regnet deg frem til at $|f(x)-L|=|x^2|$. For å komme helt i mål
må du finne en funksjon $\delta (\epsilon)$ slik at uansett hvilken $\epsilon$ som er gitt så vil $|x|<\delta (\epsilon )$
medføre at $|x^2|<\epsilon$.
Her er et eksempel som viser fremgangsmåten. Anta at vi ønsker å vise at $\lim_{x\rightarrow0}x^3+\pi=\pi$.
$|f(x)-L|=|x^3+\pi-\pi|=|x^3|$. Hvis vi nå velger $\delta=(\epsilon)^{\frac13}$ så vil $|x|<\delta$ medføre at
$|f(x)-L|=|x^3|=|x|^3<\delta^3=(\epsilon^{\frac13})^3=\epsilon$.
Dermed har vi at for alle $\epsilon>0$ kan vi finne en $\delta>0$ ($\delta=\epsilon^{\frac13}$) slik at når $|x-0|<\delta$
så vil alltid $|f(x)-L|<\epsilon$ som var det vi ønsket å vise.
Det som må vises da er at for enhver $\epsilon$ (uansett hvor liten) kan vi finne en $\delta$ slik at når
$|x-0|=|x|<\delta$ så er $|f(x)-L|<\epsilon$. Du har regnet deg frem til at $|f(x)-L|=|x^2|$. For å komme helt i mål
må du finne en funksjon $\delta (\epsilon)$ slik at uansett hvilken $\epsilon$ som er gitt så vil $|x|<\delta (\epsilon )$
medføre at $|x^2|<\epsilon$.
Her er et eksempel som viser fremgangsmåten. Anta at vi ønsker å vise at $\lim_{x\rightarrow0}x^3+\pi=\pi$.
$|f(x)-L|=|x^3+\pi-\pi|=|x^3|$. Hvis vi nå velger $\delta=(\epsilon)^{\frac13}$ så vil $|x|<\delta$ medføre at
$|f(x)-L|=|x^3|=|x|^3<\delta^3=(\epsilon^{\frac13})^3=\epsilon$.
Dermed har vi at for alle $\epsilon>0$ kan vi finne en $\delta>0$ ($\delta=\epsilon^{\frac13}$) slik at når $|x-0|<\delta$
så vil alltid $|f(x)-L|<\epsilon$ som var det vi ønsket å vise.