matematikk.net

Hei

Har blitt møtt med følgende oppgave:

La $z,w$ være to komplekse tall der $\bar{z}w\neq 1$. Bevis at
$\left|\frac{w-z}{1-\bar{w}z}\right|<1$ dersom $|z|<1$ og $|w|<1$
og at
$\left|\frac{w-z}{1-\bar{w}z}\right|=1$ dersom $|z|=1$ og $|w|=1$
[Hint: Hvorfor kan man anta at $z$ er reell? Det er da tilstrekkelig å vise at
$(r-w)(r-\bar{w})\leq (1-rw)(1-r\bar{w})$
med likhet for passende $r$ og $|w|$.]

Noen tips til hvordan jeg løser første steg, dvs. å vise at man kan anta at $z$ er reell? Hørte et rykte om at man burde forsøke eksponentiell form, men jeg ser ikke helt hvor man går derfra.

Skriv $z=re^{i\theta}$. Substitusjonen gir at Blaschke-faktoren blir

$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.

Vi kan multiplisere telleren med $1=|e^{-i\theta}|$ uten at brøken endres. Altså får vi

$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|} = \frac{|we^{-i\theta}-r|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.

La $v=we^{-i\theta}$. Substituerer vi dette i den siste brøken fås

$\frac{|v-r|}{|1-\bar{v}r|}$, der $r$ er et ikkenegativt reelt tall mindre enn 1, og $v$ et komplekst tall inni enhetssirkelen.

Anta at $z$ har argument $\theta$. Da kan nevneren skrives som
$|w-z|=|1||w-z|=|e^{-i\theta}||w-z|=|e^{-i\theta}(w-z)|=|we^{-i\theta}-ze^{-i\theta}|=|w'-r|$
Hvor $r$ er reell.

Videre er $\overline{w}z=\overline{w}e^{i\theta}ze^{-i\theta}=\overline{we^{-i\theta}}ze^{-i\theta}=\overline{w'}r$.

Poenget her er at vi kan rotere $z$ og $w$ en vinkel $\theta$ om origo uten at uttrykket forandrer verdi, hvilket medfører at vi
kan rotere dem slik at $z$ blir reell.

Edit: Plutarco kom meg visst i forkjøpet!

Aha. Mange takk skal dere ha.

Såvidt jeg kan se er det ikke egentlig nødvendig å gjøre denne forberedelsen før man viser at ulikheten holder.

Da har man jo ingen granti for at tallene er reelle. Eller hva tenker du på?

Jeg gikk frem på følgende måte. Siden $|z|,|w|<1$ har vi at $(1-|z|^2)(1-|w|^2)>0$ som er ekvivalent med
$1+|zw|^2>|z|^2+|w|^2$. Hvis vi så trekker fra det reelle tallet $2Re(\overline{w}z)=(\overline{w}z+w\overline{z})$
på begge sider får vi at $1-(\overline{w}z+w\overline{z})+|zw|^2>|z|^2+|w|^2-(\overline{w}z+w\overline{z})$.

Hvis vi nå observerer at venstresiden er lik det positive reelle tallet $|1-\overline{w}z|^2$ og at høyresiden
er lik det positive reelle tallet $|w-z|^2$ ender vi opp med den ønskede ulikheten: $|1-\overline{w}z|>|w-z|$.
Merk at utgangspunktet gir oss umiddelbart at vi har likhet når enten $|z|=1$ eller $|w|=1$.

Jeg ser i hvert fall ikke noe galt med dette argumentet. Hvis noen andre gjør det si gjerne i fra!

Å ja, du mente å gå utenom hele hintet. Når jeg ser på hvordan jeg beviste ulikheten med reell r, er jeg enig i at det virker like greit. Beviset mitt gikk omtrent som ditt med to komplekse – men kanskje finnes det en enklere måte.