matematikk.net

Vil følge altid være sant for alle funksjoner?

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x) \cdot \Delta x = 0[/tex] ?

Svaret må vel sies å være nei siden $\lim_{\Delta x \to 0}f(x+\Delta x)$ ikke behøver å eksistere, eller kan gå mot $\pm \infty$. I målteorien definerer man riktignok $\infty\cdot 0 = 0$, men ellers er slike uttrykk udefinert.

Så vis

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(x+dx) = k[/tex] blir [tex]\lim_{\Delta x \to 0}f(x+\Delta x) \Delta x = 0[/tex] ?

gabel skrev:Så vis

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(x+dx) = k[/tex] blir [tex]\lim_{\Delta x \to 0}f(x+\Delta x) \Delta x = 0[/tex] ?

Ja, generelt er det slik at dersom $\lim_{x\to a}f(x)$ og $\lim_{x\to a}g(x)$ begge eksisterer (og er endelig), så er $\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Hmmm okey. Menne kan en si noe om f gjør at følge blir sant?


[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x) \cdot \Delta x = k[/tex]

gabel skrev:Hmmm okey. Menne kan en si noe om f gjør at følge blir sant?


[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x) \cdot \Delta x = k[/tex]

Vel, det du skriver er f.eks. riktig for $f(x)=\frac{k}{x-x_0}$. Dette valget av $f$ er naturligvis ikke den eneste muligheten. Det fins i prinsippet uendelig mange funksjoner $f(x)$ som tilfredsstiller kravet du formulerte.

En annen mulighet er at $f(x)=\frac{k}{\sin (x-x_0)}$. Husk at $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} = 1$