Logistisk ligning
Lagt inn: 14/10-2014 21:47
Hei,
Jeg jobber med en oppgave, og jeg er usikker på om jeg er helt på bærtur eller om jeg er på rett sti. Oppgaveteksten lyder som følger:
I en barnehage går det 100 barn. På et tidspunkt bryter det ut en omgangssyke i barnehagen. La y(t) være antall barn som er smittet av viruset etter en tid t målt i dager. I dette tilfellet er en god modell for utbredelsen av smitten at vekstraten til antall smittede barn er proposjonal til både y (siden dette er antall barn som er smittet) og til (1-y/100) (siden dette er andelen av barn som kan smittes). Merk at vi antar at alle barn møter i barnehagen selv om de er smittet.
1) La oss godta at det gir mening at for eksempel 3, 2 barn er smittet, og at det betyr at tre
barn er smittet og at et fjerde barn er på vei til å bli smittet. Forklar hvorfor den logistiske
ligningen modellerer dette problemet og gi en formel for y(t)
2) Smitten bryter ut idet ett av de 100 barna mandag morgen kommer i barnehagen med omgangssyke. Neste morgen er fire barn smittet (inkludert barnet som var smittet dagen før). Hvor mange barn er smittet onsdag morgen? Hvilken dag i uken er den første dag der mer enn halvdelen av barna er smittet om morgenen når de kommer i barnehagen?
Jeg tenker slik:
Vi har differensialligningen [tex]\frac{dy}{dx}=ry(1-\frac{y}{100})[/tex], [tex]r[/tex] en konstant, som forteller oss noe om vekstraten: når andelen smittede barn er lav, er vekstraten høy, mens når andelen smittede barn er høy, er vekstraten lav. Løser vi ligningen får vi et uttrykk for [tex]y[/tex]:
[tex]y(t)=\frac{100y_0}{(100-y_0)e^{-rt}+y_0}[/tex]
Er dette rett frem til nå?
Videre tenker jeg at i oppgave 2 har vi fått oppgitt [tex]y_0=1[/tex]. Vi kan dermed finne konstanten r ved å løse ligningen under med hensyn på r:
[tex]y(1)=\frac{100\times1}{(100-1)e^{-r\times1}+1}=4[/tex]
Når jeg så finner konstanten r kan jeg finne ut hvor mange som er smittet ved [tex]t=1,2,3,4osv.[/tex]. Er dette riktig måte å tenke på?
Setter stor pris på et par tips
Jeg jobber med en oppgave, og jeg er usikker på om jeg er helt på bærtur eller om jeg er på rett sti. Oppgaveteksten lyder som følger:
I en barnehage går det 100 barn. På et tidspunkt bryter det ut en omgangssyke i barnehagen. La y(t) være antall barn som er smittet av viruset etter en tid t målt i dager. I dette tilfellet er en god modell for utbredelsen av smitten at vekstraten til antall smittede barn er proposjonal til både y (siden dette er antall barn som er smittet) og til (1-y/100) (siden dette er andelen av barn som kan smittes). Merk at vi antar at alle barn møter i barnehagen selv om de er smittet.
1) La oss godta at det gir mening at for eksempel 3, 2 barn er smittet, og at det betyr at tre
barn er smittet og at et fjerde barn er på vei til å bli smittet. Forklar hvorfor den logistiske
ligningen modellerer dette problemet og gi en formel for y(t)
2) Smitten bryter ut idet ett av de 100 barna mandag morgen kommer i barnehagen med omgangssyke. Neste morgen er fire barn smittet (inkludert barnet som var smittet dagen før). Hvor mange barn er smittet onsdag morgen? Hvilken dag i uken er den første dag der mer enn halvdelen av barna er smittet om morgenen når de kommer i barnehagen?
Jeg tenker slik:
Vi har differensialligningen [tex]\frac{dy}{dx}=ry(1-\frac{y}{100})[/tex], [tex]r[/tex] en konstant, som forteller oss noe om vekstraten: når andelen smittede barn er lav, er vekstraten høy, mens når andelen smittede barn er høy, er vekstraten lav. Løser vi ligningen får vi et uttrykk for [tex]y[/tex]:
[tex]y(t)=\frac{100y_0}{(100-y_0)e^{-rt}+y_0}[/tex]
Er dette rett frem til nå?
Videre tenker jeg at i oppgave 2 har vi fått oppgitt [tex]y_0=1[/tex]. Vi kan dermed finne konstanten r ved å løse ligningen under med hensyn på r:
[tex]y(1)=\frac{100\times1}{(100-1)e^{-r\times1}+1}=4[/tex]
Når jeg så finner konstanten r kan jeg finne ut hvor mange som er smittet ved [tex]t=1,2,3,4osv.[/tex]. Er dette riktig måte å tenke på?
Setter stor pris på et par tips