nåverdi

[lillemor]

1.
Finn ved regning den årlige renten som gjør at nåverdiene av de to tilbudene blir like

f(x)= 5000+ 3150/(1+x/100)+ 2200/(1+x/100)^2

g(x)= 7000 + 2100/(1+x/100) + 1100/(1+x/100)^2


2.
Du låner 7000 kr av en pengesterk mann. Dere blir enige om en fleksibel nedbetalingsplan, du betaler når du har råd. Etter et år betaler du 1000 etter tre år betaler du 3000 og etter år betaler du 5000. Da blir dere enige om at gjelden er nedbetalt.

Vi skal her finne ut hva slags årlig rente dette lånet har hatt. Forklar at dersom den årlige renten settes lik x , så må man løse likningen

1000/(1+x/100) + 3000/(1+x/100)^3 + 5000/(1+x/100)^5= 7000

[binders]

Ingen som vet? Plexus?

[Solar Plexsus]

1) Sett y=1/(1 + (x/100)) (dvs. at x=100((1/y) - 1)) og f(x)=g(x). Dette gir

5000 + 3150y + 2200y[sup]2[/sup] = 7000 + 2200y + 1100y[sup]2[/sup]

1100y[sup]2[/sup] + 1150y - 2000 = 0 (deler med 50)

22y[sup]2[/sup] + 23y - 40 = 0

y = (-23 +/- [rot]d[/rot]) /(2*22)

der d = 23[sup]2[/sup] - 4*22*(-40) = 529 + 3520 = 4049. Altså blir

y = (-23 + [rot]4049[/rot])/44 (kan sløyfe løsningen med minustegn fordi y>0)

x = 100((1/y) - 1) ≈ 8,3.


2) La z = 1 + (x/100). Ut fra nedbetalingsplanen kan vi sette opp følgende likning:

((7000z - 1000)z[sup]2[/sup] - 3000)z[sup]2[/sup] = 5000

7000z[sup]5[/sup] - 1000z[sup]4[/sup] - 3000z[sup]2[/sup] = 5000 (*)

1000z[sup]4[/sup] + 3000z[sup]2[/sup] + 5000 = 7000z[sup]5[/sup] (deler med z[sup]5[/sup] og bytter ut z med 1 + (x/100))

(1000/(1 + (x/100))) + (3000/(1 + (x/100))[sup]3[/sup]) + (5000/(1 + (x/100))[sup]5[/sup]) = 7000.

Identiteten (*) gir oss

7z[sup]5[/sup] - z[sup]4[/sup] - 3z[sup]2[/sup] - 5 = 0.

Vha. av Newtons metode finner vi at denne likningen har en løsning i intervallet [1,2], nemlig z≈1,068. M.a.o. blir den årlige renten på lånet

x = 100(z - 1) ≈ 6,8 (%).

[lillemor]

Tusen hjertlig takk...
Skulle ønske jeg hadde dine mattekunnskaper...
Kan du donere 1/3 til meg?

[Gjest]

Hei

Skal ikke

5000 + 3150y + 2200y2 = 7000 + 2200y + 1100y2 være

5000 + 3150y + 2200y2 = 7000 + 2100y + 1100y2?

Da blir svaret noe slikt som 4.92, noe som stemmer overens med resultatet jeg får i mathematica...

[Solar Plexsus]

Du har helt rett! Det skal være 2100y og ikke 2200y som jeg har skrevet. Dermed blir likningen

22y[sup]2[/sup] + 21y - 40 = 0 (ikke 23y)

y = (-21 + [rot][/rot]3961) / 44.

Dette gir

x = 100((1/y) - 1) ≈ 4,92.

[Gjest]

koffer del du på 50??