matematikk.net

http://bildr.no/view/YjlieUZ6

På bildet kan du se oppgaven og løsningen.
Takknemlig for hjelp

Hva har du prøvd selv?
Kan du metoden med substitusjon?

anbefaler deg $u \mapsto x^2$, og deretter delbrøksoppspalting. Men du burde bare prøve noen enkle
susbtitusjoner først og se hva som skjer..

Jeg kan litt, men det sitter ikke så godt. Blir bare rot. Jeg har f.eks prøvd å sette:
u=(1+x^2)^3
u^(1/3)=(1+x^2)

...dette førte meg ikke så langt. Så har jeg prøvd å sette u=X^3, du=3X^2.

http://bildr.no/view/UFhZYzF5

Så langt kom jeg med u=x^2

Kjempeflott, så langt er det 100% riktig!

Deretter kan du enten bruke delbrøksoppspalting eller algebra for å vise at

$ \hspace{1cm}
\frac{u}{(1+u)^3}
= \frac{(u+1)-1}{(1+u)^3}
= \frac{u+1}{(u+1)^3} - \frac{1}{(u+1)^3}
= \frac{1}{(u+1)^2} - \frac{1}{(u+1)^3}
$

Deretter kan du vise at

$ \hspace{1cm}
\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+a)^n}
= - \frac{1}{n-1} \frac{1}{(x+a)^{n+1}} + \mathcal{C}
$

For alle relle $a$ og alle naturlige $n$ ulik $1$. Bruk for eksempel $u \mapsto x+a$ for å vise dette. Det burde få oppgaven i mål =)
Vi kan selvsagt og skrive $\forall \: a \in \mathbb{R} \: \wedge \: n \in \mathbb{N} /\{1\}$ om vi vil trene på å bruke matematisk notasjon.

Jeg forstod ikke hvor du fikk (u+1)-1 fra?

$(u+1)-1 = u$. Smart triks. Om du ikke klarer å se slike ting bruk delbrøksoppspalting.

Tusen takk, forstod nå