matematikk.net

«En ballong stiger vertikalt over et punkt A på bakken i en hastighet på 15 meter per sekund. Et punkt B på bakken er i samme høyde som A og 30 meter unna A. Hvordan endrer avstanden mellom ballongen og punktet B seg når ballongen er 40 meter unna A?»

Tegner opp figur og skriver inn informasjon. Får en rettvinklet trekant. Kaller lengden fra A til ballongen for b, og lengden fra B til ballongen for a. t er tid i sek. Antar B, b og a er deriverbare funksjoner av t.

$\frac{db}{dt} = 15$, $\sin B = \frac b a \iff a = \frac{b}{\sin B}$

Når b = 40 og B = 53.13º: $\frac{da}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{b}{\sin B} = \frac{\frac{db}{dt} \cdot \sin B - b \cdot \frac{d}{dt}\sin B}{\sin^2 B} = \frac{15\sin(53.13) - 40\cos(53.13)}{\sin^2(53.13)} = -18.75$.

Avstanden mellom dem kan vel ikke endre seg negativt i dette tilfellet?

Problemet her er vel at du ikke bruker kjerneregelen når du finner den deriverte av sin B. Der må du også få med hvor raskt B(t) forandrer seg.

Her tror jeg det vil være enklere om du bruker Pytagoras i stedet for vinkler. Pytagoras gir jo en veldig enkel sammenheng: $30^2 + b(t)^2 = a(t)^2$. Deriverer du denne på begge sider så er du i mål.

Så endringen er den samme?

Jeg er ikke noen ekspert på dette, men slik gjorde jeg det

Jeg ville ganget ut [tex]\frac{db}{dt} \cdot \frac{da}{db} = \frac{da}{dt}[/tex] som er det du vil finne ut!
Du må isåfall finne et uttrykk for a som en funksjon av b og derivere denne. [tex]a = \frac{b}{\sin B}[/tex] . Deriver denne så tror jeg du har da/db.

[tex]\frac{da}{dt} = 15 \cdot \frac{40}{\sqrt{1-B^2}}[/tex] Bruk radianer og jeg tror kanskje det blir riktig..

Ivan

Arctagon skrev:Så endringen er den samme?

Nei, deriverer du, så får du vha. kjerneregelen at $2a(t) \cdot a'(t) = 2 b(t) \cdot b'(t)$.