matematikk.net

Hva betyr beviset? Fasit sier

A = f''xx(x,y) = -4
B = f''xy(x,y) = -2
C = f''yy(x,y) = -2

AC - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 4 > 0
A = -4 < 0

Dermed er (x,y) = (10,20) et maksimum.

Skjønner ikke sammenhengen AC - B^2, heller ikke at punktet (10,20) er et maksimumspunkt fordi AC-B^2=4 og A=-4. Kan noen forklare er jeg takknemlig!

Hei!

Har du et utrykk for funksjonen f(x,y)?

Gitt et punkt (a,b) tar en for seg andrederivertmatrisen i punktet. Hvis alle egenverdiene til matrisen (Hessian) er positive i punktet, har funksjonen et lokalt minimum. Omvendt for bare negative egenverdier. Testen kan generaliseres til flere enn 2 variabler.

Takk for behjelpelig svar hittil! Forsto noe av det du skriver Norm, men noe teoretisk for mitt nivå.

Madfro, litt info:

En bedrift produserer samme vare i to fabrikker. Den samlede fortjenesten ved å produsere og
selge x enheter produsert i fabrikk 1 og y enheter produsert i fabrikk 2 er:

f(x,y) = -2x^2 -2xy -y^2 + 80x + 60y -250

Hvor mye må bedriften produsere i de to fabrikkene for å maksimere fortjenesten? Visatdetduharfunneteretmaksimumspunktfor f(x,y).Hvablirdenmaksimale
fortjenesten?

f'x(x,y) = -4x -2y +80
f'y(x,y) = -2x -2y +60

I: -4x -2y +80 = 0
II: -2x -2y +60 = 0

I-II: -2x +20 = 0 --> x = 10
II: -2 * 10 -2y +60 = 0 --> y = 20

Dette er helt greit. Det er verre med beviset

A = f''xx(x,y) = -4
B = f''xy(x,y) = -2
C = f''yy(x,y) = -2

AC - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 4 > 0
A = -4 < 0
Dermed er (x,y) = (10,20) et maksimum.
Fortjenesten blir: f(10,20) = 750

Og hvordan har f''xy(x,y) blitt regnet ut? Legger jeg sammen f'x(xy) og f'y(x,y) får jeg f'xy(x,y) = -6x -4y + 140 som derivert blir

f''xy(x,y) = -6 -4 = -10

og ikke -2 som fasit tilsier.

For eksempel:

[tex]f(x,y) = x^{3}y + y^{2} + C[/tex]

[tex]\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) = f_{xy}'' = f_{yx}'' = \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}f(x,y) = 3x^{2}[/tex]

At de blanda andrederiverte er like holder for de fleste funksjoner, med noen 'patologiske unntak'.

Som du sikkert vet derfinerer [tex]AC - B^{2}[/tex] determinanten til en 2 x 2 matrise. Det finnes også et resultat om at determinanten er lik produktet av egenverdier til matrisen. Siden determinanten er positiv, må enten begge egenverdiene være negative eller begge positive. At en matrise har bare positive egenverdier kalles å være positiv definitt, motsatt negativ definitt. For den til å være det (positiv definitt), må også [tex]A > 0[/tex]. Hvis det er tilfellet, har du et lokalt minimum. Din [tex]A < 0[/tex], så begge egenverdiene er negative og du har et lokalt maximum. Jeg vet bare hvordan jeg skal gjøre det for egenverdiene, for den metoden kan brukes for matriser av alle størrelser, dvs. flere variable, så beklager teknikalitetene.

Med egenverdier, mener du da her B og C? Siden A er referansen for determinanten.

Det finnes sikkert en enklere måte, men ved å bruke ABC-formelen får jeg at egenverdiene er

[tex]\frac{A + C \pm \sqrt{(A + B)^{2} - 4(AC - B^{2})}}{2}[/tex]

som sikkert kan forkortes og gjøres enklere.