Side 1 av 1
Faktorisere fjerdegradspolynom
Lagt inn: 22/08-2015 15:40
av hallapaadeg
Noen som har tips til å faktorisere denne?
[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]
vet at den kan faktoriseres til
[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]
men jeg klarer ikke se hvordan
Re: Faktorisere fjerdegradspolynom
Lagt inn: 22/08-2015 15:59
av Nebuchadnezzar
$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + \color{blue}{5x^2} − \color{green}{2x} + 4
& = (x^4+\color{blue}{x^2}) − (2x^3 + \color{green}{2x}) + (\color{blue}{4x^2} + 4) \\
& = (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot x^2 - (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 2x + (\color{red}{x^2 + 1}) \cdot 4 \\
& = (\color{red}{x^2 + 1})( x^2 - 2x + 4)
\end{align*}
$
Alternativt kan en anta at
$
\begin{align*}
x^4 − 2x^3 + 5x^2 − 2x + 4
& = (x^2 + b x + c)(x^2 + d x + e) \\
& = x^4+(b+d) \cdot x^3+(b d+c+e) \cdot x^2+(b e+c d) \cdot x + c e \\
\end{align*}
$
Som ved å sammenlikne koeffisienter leder til likningssystemet
$
\begin{align*}
b + d & = -2 \\
b \cdot d + c + e & = \phantom{-}5 \\
b e + c d & = - 2 \\
c e & = \phantom{-}4
\end{align*}
$
Alternativt dersom du vet at $x^2 + 1$ er en faktor kan du bruke polynomdivisjon.
Re: Faktorisere fjerdegradspolynom
Lagt inn: 24/08-2015 09:33
av hallapaadeg
Se der ja. Takk for hjelp
Re: Faktorisere fjerdegradspolynom
Lagt inn: 24/08-2015 18:12
av kreativitetNO
hallapaadeg skrev:Noen som har tips til å faktorisere denne?
[tex]x^{4} -2x^{3} + 5x^{2} - 2x +4[/tex]
vet at den kan faktoriseres til
[tex](x^{2}+1)(x^{2} -2x +4)[/tex]
men jeg klarer ikke se hvordan
Hvis spørsmålet er formulert som: "Vis at [tex]X^{4}-2...[/tex] kan faktoriseres som [tex](x^{2}+1)(x^{2}...)[/tex]", er polynomdivisjon veien å gå
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Re: Faktorisere fjerdegradspolynom
Lagt inn: 15/09-2015 21:35
av jomath
Hei!
De 4 ligningene med 4 ukjente er vel ikke så lette å løse, pga innslag av multiplikasjon av koeffisientene. Du havner i høyeregradsligninger der også...