Hei,
Har gitt en oppgave som jeg ikke skjønner hvordan skal løses. Oppgaven lyder slik:
La
y=(x+2)(x+2^2)(x+2^3)⋯(x+2^185)
hvor eksponenten til 2 øker med 1 i hver faktor. Gitt at summen av de første n naturlige tallene er
1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2
og at
1/2+1/2^2+1/2^3+⋯+1/2^n=1−1/2^n,
finn verdien til dy/dx i x=0.
Jeg antar at jeg må finne en funksjon som gjør produktet av y om til en sum, men finner ikke en summeringsformel som jeg kan anvende. Kunne noen hjulpet meg?
Trancendentale funksjoner
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Gitt et polynom $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$, så har vi at $P'(0)=a_1$
(deriver og sett $x=0$). Det vil si at for å løse problemet holder det å avgjøre hva koeffisienten
til $x$ blir når produktet ganges ut. Så hvilke produkter ender opp på formen $bx$?
\[y=(x+2)(x+2^2)\cdots(x+2^{185}).\]
For eksempel kan vi velge $x$ fra den første parentesen og konstantleddet fra resten av
parentesene. Dette gir $x2^22^3\cdots 2^{185}=2^{2+3+\cdots+185}x$. Tilsvarende kan vi
velge $2$ fra første parentes $x$ fra andre og konstantledd fra resten. Mer generelt
den eneste måten vi kan oppnå et produkt på formen $bx$ er hvis vi velger $x$ fra en
parentes og konstantleddet fra resten. Koeffisienten vi er ute etter vil nå være summen
av alle slike produkter.
Hvis du ser mønsteret nå vil du kunne bruke formlene oppgitt til å regne ut denne koeffisienten.
Si ifra hvis dette var uklart eller du fremdeles står fast!
(deriver og sett $x=0$). Det vil si at for å løse problemet holder det å avgjøre hva koeffisienten
til $x$ blir når produktet ganges ut. Så hvilke produkter ender opp på formen $bx$?
\[y=(x+2)(x+2^2)\cdots(x+2^{185}).\]
For eksempel kan vi velge $x$ fra den første parentesen og konstantleddet fra resten av
parentesene. Dette gir $x2^22^3\cdots 2^{185}=2^{2+3+\cdots+185}x$. Tilsvarende kan vi
velge $2$ fra første parentes $x$ fra andre og konstantledd fra resten. Mer generelt
den eneste måten vi kan oppnå et produkt på formen $bx$ er hvis vi velger $x$ fra en
parentes og konstantleddet fra resten. Koeffisienten vi er ute etter vil nå være summen
av alle slike produkter.
Hvis du ser mønsteret nå vil du kunne bruke formlene oppgitt til å regne ut denne koeffisienten.
Si ifra hvis dette var uklart eller du fremdeles står fast!
