komplekse tall

[Gjest]

Vi lærer alltid at det imaginære tallet i er [rot][/rot]-1. Men har ikke [rot][/rot]-1 to løsninger +- i. Da kan vel ikke [rot][/rot]-1 være definisjonen på i. Hva er da definisjonen på i, den positve løsningen av [rot][/rot]-1?

Også lurer jeg på om det er dette problemet som fører til dette litt merklige beviset.
i=i
[rot][/rot]-1 = [rot][/rot]-1
[rot][/rot]-1/1 = [rot][/rot]1/-1
i/1 = 1/i
Vi kryssmultipliserer og får
-1 = 1

[Solar Plexsus]

Grunnen til denne forvirringen ligger i det faktum at et kompleks tall har to kvadratrøtter. DeMoivres formel gir nemlig at for er komplekst tall z = r [cos(θ) + i sin(θ)] er

[rot][/rot]z = z[sup]1/2[/sup] = +/-[rot][/rot]r [cos(θ/2) + i sin(θ/2)].

M.a.o. er kvadratrota av et kompleks tall z ikke en funksjon av z. Derfor er det også uheldig å definere i som kvadratrota av -1. En konsekvens av en slik definisjon er det paradokset du viser til. Dette bunner altså i at [rot][/rot]-1 = +/- i. Følgelig er det mye lurere å introdusere den imaginære enheten i via identiteten i[sup]2[/sup] = -1.

[Gjest]

Det var jeg som skrev det første inlegget og ble litt forvirret av svaret.
For den definisjonen du viser til er har vel egentlig samme problem?
Sier ikke definisjonen i^2 = -1 at i er et tall som opphøyd i annen blir -1.
Har vi ikke da fremdeles to muligheter for i...

i^2 = -1
(-i)^2 = -1

Takk for svar uansett, selv om jeg ble litt forvirret

[Solar Plexsus]

Som du sikkert ser, har jeg ikke skrevet at i er definert ved identiteten i[sup]2[/sup] = -1. Dette har jeg unngått nettopp fordi likningen z[sup]2[/sup] = -1 har to løsninger (z=+/-i). Flere lærebøker i matematikk kommer med definisjonen av den imaginære enheten i etter introduksjonen av det komplekse plan og en forklaring på hvordan addisjon og multiplikasjon av tall i nevnte plan utføres. Etter at disse tingene er etablert, blir den imaginære enheten i definert som punktet (0,1) i det komplekse plan. Med utgangspunkt i definisjonene av i og multiplikasjon i det komplekse plan kan man så vise at

i[sup]2[/sup] = i•i = (0,1)•(0,1) = (-1,0) = -1.

[Gjest]

Ok, så det er best å definere i ved hjelp av det komplekse plan....