Formelle definisjon av grenser

[Flaw]

Hei! Jeg forsøker å finne grensen [tex]\lim_{x\to\infty}\left(e^{-x^2}\right)[/tex] ved å benytte den formelle definisjonen av grenser.

Normalt vil man jo benytte at [tex]|f(x) - L|<\epsilon[/tex] og [tex]|x-a|<\delta[/tex] der [tex]a[/tex] er grensen man går mot. Hva den faktiske grensen går mot er jo ikke vanskelig å se intuitivt, men jeg sliter med å benytte den formelle definisjonen der x går mot uendelig, for det at [tex]|x-\infty|<\delta[/tex] sier meg jo ingenting?

[Vektormannen]

Den definisjonen du viser til her gjelder når a er et reelt tall. Grenser der x går mot uendelig har en litt annen definisjon; da skal vi vise at vi alltid kan finne en $c$ slik at når $x > c$ så er $|f(x) - L| < \epsilon$. Se for øvrig https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_ ... t_infinity

[Flaw]

Ok. Så jeg regner med vi antar at [tex]\epsilon\geq 0[/tex]. Videre vet jeg at [tex]e^{-x^2}<e^{-x}[/tex] sålenge [tex]x>0[/tex]. Da må vel dette være bevist?

Altså, dersom vi lar [tex]\epsilon>[/tex] den stoerste av [tex]e^{-x}[/tex] og [tex]0[/tex], da er [tex]|e^{-x^2}-0|<e^{-x}\geq \epsilon[/tex]

Eller tenker jeg feil nå?

[Nebuchadnezzar]

hus at det er $c$ du skal fiksere, ikke $\varepsilon$. Tenk deg at jeg gir deg en epsilon for eksempel $\varepsilon = 1/10$, hva må da $c$ være?

Selv ville jeg nok valgt $c = \text{Re}\left( \sqrt{ - \log \varepsilon } \right)$ Men smaken er som baken =) (Virker som du sier som $c = - \log c$ og fungerer for positive $x$ =) )

[Flaw]

Ok. Jeg ser at fra [tex]|e^{-x^{2}}|<\epsilon[/tex] kan vi få [tex]|x|<-\sqrt{\ln{\epsilon}}[/tex] ved å simpelthen ta ln på begge sider (hva skjer med absolutten i dette tilfellet? Edit: Forsvinner vel siden funskjonen vi hadde ved et punkt [tex](x^2\ln{e})[/tex] alltid er positiv?)

Og følgelig, dersom vi velger at [tex]x>-\sqrt{\ln{\epsilon}}[/tex] så holder sammenhengen? Er det hva du mener?

[Flaw]

Kan vel egentlig også se at siden [tex]e^{-x^2}=\frac{1}{e^{x^2}}<\frac{1}{x^{2}}[/tex]

Dersom [tex]x>c[/tex] blir da [tex]e^{-x^2}<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^{2}}[/tex]

Så om vi velger [tex]c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}[/tex], gitt at [tex]\epsilon>0[/tex]

Så får vi at [tex]|e^{-x^2}|<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^{2}}=\epsilon[/tex]

Nå tror jeg at jeg er på riktig spor?

[Nebuchadnezzar]

Det siste du skrev er helt riktig. Mtp $1/x^2$ osv. Merk at du ikke kunne ha valgt $c = - \sqrt{ \log \varepsilon }$, hva blir c om $\varepsilon = 0.001$ for eksempel?

Kommer litt ann på hvor $god$ epsilon en ønsker. Med tanke på korrektheten av beviset fungerer begge to like godt.
Anta $x > \sqrt{ - \log \varepsilon }$ da er

$ \hspace{1cm}
|f(x) - L| = |e^{-x^2} | < |e^{-(\sqrt{-\log \varepsilon})^2}| = |e^{ \log \varepsilon}| = \varepsilon
$

Som fullfører beviset. Om en i stedet velger $c = - \log (\varepsilon)$ får en tilsvarende

$ \hspace{1cm}
|f(x) - L| = |e^{-x^2} | < |e^{-x} |<|e^{-(-\log( \varepsilon))} | = |e^{ \log \varepsilon}| = \varepsilon
$

Som igjen var den en ønsket å vise

[Vektormannen]

Jeg leste første post litt grundigere nå og vil bare legge til at vi ikke bruker epsilon-delta til å finne grenser, men til å vise at grensen faktisk er den verdien vi påstår at det er. Epsilon-delta er det teoretiske grunnlaget vi bruker for å bevise at de regnereglene vi har for å finne grenseverdier faktisk er riktige

[Flaw]

Takker for inputten begge to, tror jeg endelig har dette konseptet helt i boks.