Integral

[monsterlol]

Hei. Er det noen der ute som kan hjelpe meg med følgende integral:

[itgl](ln(2-x))/(2-x)[/itgl]dx , x<2

takker

[Solar Plexsus]

Substitusjonen t = 2 - x gir dt/dx = -1, som igjen medfører at

(1) [itgl][/itgl] [ ln(2 - x) / (2 - x) ] dx = - [itgl][/itgl] (1/t)[sub]*[/sub]ln(t) dt

Ved å bruker delvis integrasjon, dvs. regelen

(2) [itgl][/itgl]u'v dt = uv - [itgl][/itgl]uv' dt

med u'=1/t og v=ln(t). Altså er u=ln(t)=v og v'=1/t=u', så u'v = uv'. Dermed følger det av (1) og (2) at

[itgl][/itgl] [ ln(2 - x) / (2 - x) ] dx = -[itgl][/itgl] u'v dt = - (uv/2) + C = - [ln(t)][sup]2[/sup]/2 + C = - [ln(2 - x)][sup]2[/sup]/2 + C

der C er en vilkårlig konstant.

[Gjest]

￾ç(ln(2-x))/(2-x)dx

sett u = 2-x
du = -dx

￾ç(ln(2-x))/(2-x)dx =
-￾çlnu/udu = -￾ç1/u * lnu du= - [lnu * lnu - ￾çlnu * 1/u du = - (ln u)^2 + ￾çlnu/u du
-2 ￾çlnu/u du = -(lnu)^2
￾çlnu/u du = 1/2 * (lnu)^2 + c = - ￾ç(ln(2-x))/(2-x)dx

Derfor blir
￾ç(ln(2-x))/(2-x)dx = - 1/2 * (ln(2-x))^2 + c