matematikk.net

Hei,
oppgaven jeg prøver meg på er følgende:

Vis at [tex]e^{z}=e^{z+2\pi \cdot i}[/tex] for alle z.
( Eksponentiellfunksjonen er periodisk med perioden [tex]2\pi \cdot i[/tex])

Jeg prøvde først å starte med [tex]e^z[/tex], men jeg kom absolutt ingen vei. Så prøvde jeg å gå den andre veien:
Dvs:

[tex]e^{z+2\pi \cdot i}=e^z\cdot e^{2\pi \cdot i}=e^z\cdot (e^{\pi i})^2=e^z\cdot (-1)^2=e^z[/tex]

Det er sikkert feil å gå frem slik, men jeg skjønner ikke hvordan jeg skal kunne klare å bare gå fra venstreside og ende opp med resultatet på høyre side?
Jeg prøvde blant annet å uttrykke på polarform, og bruke at z = a + bi.

MathandPhysics skrev:Hei,
oppgaven jeg prøver meg på er følgende:

Vis at [tex]e^{z}=e^{z+2\pi \cdot i}[/tex] for alle z.
( Eksponentiellfunksjonen er periodisk med perioden [tex]2\pi \cdot i[/tex])

Jeg prøvde først å starte med [tex]e^z[/tex], men jeg kom absolutt ingen vei. Så prøvde jeg å gå den andre veien:
Dvs:

[tex]e^{z+2\pi \cdot i}=e^z\cdot e^{2\pi \cdot i}=e^z\cdot (e^{\pi i})^2=e^z\cdot (-1)^2=e^z[/tex]

Det er sikkert feil å gå frem slik, men jeg skjønner ikke hvordan jeg skal kunne klare å bare gå fra venstreside og ende opp med resultatet på høyre side?
Jeg prøvde blant annet å uttrykke på polarform, og bruke at z = a + bi.

Det er helt legitimt å gå andre veien. Alternativt så kan du jo bare copy+paste det du har skrevet og snu det om slik:
[tex]e^z=e^z\cdot (-1)^2=e^z\cdot (e^{\pi i})^2=e^z\cdot e^{2\pi \cdot i}=e^{z+2\pi \cdot i}[/tex]
Uansett hvordan du velger å gjøre det er det helt riktig.

Det eneste jeg ikke skal uttale meg helt sikkert om er om jeg ikke ville vist enda et steg og satt
[tex]e^{\pi \cdot i} = cos \pi + i sin\pi[/tex], men jeg tror det er unødvendig