matematikk.net

Hei!
Jeg har en oppgave her, som jeg virkelig ikke klarer å se hvordan jeg skal klare å løse den, eller hvordan jeg i det hele tatt skal begynne. Men jeg har jo noen ideer, og hva jeg har prøvd.

Oppgaven er som følger:

En funksjonen er gitt ved:

[tex]f(x,y)=\begin{cases} 8sin(3xy)\cdot \frac{x^2+y^2+7x^2y^2}{x^3y+xy^3} & \text{ hvis } x\neq 0,y\neq 0 \\ L & \text{ hvis } x=0,y=0 \end{cases}[/tex]

Hva må L være for at f skal være kontinuerlig i origo?

Ok, jeg ser at f ikke er definert langs koordinataksene utenom i origo. Så, jeg tenker da at først å bruke metoden om å se hva som skjer når vi nærmer oss langs x-aksen, og tilsvarende når vi nærmer oss langs y-aksen vil ikke fungere.

Videre prøvde jeg å se hva som skjer når vi nærmer oss langs linja x=y, men jeg endte opp med bare noe tull.
Nå vet jeg ikke helt hva jeg skal gjøre.

Jeg vet også hva definisjonen for kontinuitet for flervariable funksjoner sier:

[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=f(0,0)[/tex]

Det er da altså for at f skal være kontinuerlig i origo.

Jeg vet ikke om polare koordinater kan føre noe frem?

Tusen takk for all hjelp.

Noen som vet??

Hvis du setter x=y faller mye vekk, og du ender opp med 24 sinc u, hvor u=kx

så svaret er L=24. (Altså, L=24 er nødvendig, men med argumentet over, ikke tilstrekkelig).

Er det nødvendig å vise at f er kontinuerlig for L=24. Antar ikke, da oppgaven impliserer eksistensen av en L slik at f er kontinuerlig i origo, og da L=24 er eneste kandidaten, må det være svaret.

L=24 gjør den kontinuerlig i origo

Vis det siste ved å bruke samme bevis som for sinc x, x->0.
for små x,y, bytt ut sin (x*y) med (x*y), og du ender opp med 24*(x^2+y^2 + R(x,y)) /x^2+y^2
vis at R(x,y) blir dominert av x^2+y^2, konvertere koordinatsystem til r=x^2+y^2.
Lim r->0 gir 24 for alle radianvinkler. BOOM