max ideal

[Janhaa]

Holder på med en eksamens-og følgeoppgave. Der lyder et underspm om idealet [tex]\,N_4\,[/tex]er et max ideal i ringen [tex]\,Z_{12}[/tex].
Har funnet at:
[tex]N_4 = <3>=\{0, 3, 6, 9\}[/tex]

Men jeg lurer på hvilket grunnlag det kan bekreftes at [tex]\,N_4\,[/tex]er et max ideal i ringen [tex]\,Z_{12}\,?[/tex].

[Gustav]

Siden kvotientringen $\mathbb{Z}_{12}/ N_4\simeq \mathbb{Z}_3$ er en kropp, er idealet maksimalt.

[Fibonacci92]

Alternativt:

Et ideal er maksimalt dersom det ikke er inneholdt i et annet ideal som ikke er hele ringen.

Hva skjer om du har andre elementer enn $0,3,6,9$ i idealet ditt?

Hint: Euklids algoritme (baklengs) og $gcd(a,3) = 1$ for alle slike elementer.

[Janhaa]

Takker til begge to, brikkene begynner så smått å falle på plass...