Sterk induksjon oppgave
Lagt inn: 26/04-2016 14:45
Har følgen $a_{n} = 6a_{n-1} - 9a_{n-2}$, for $n \geq 2 $
$a_{0} = 1$
$a_{1} = 3$
Skal vise med sterk induksjon at
$a_{n} = 3^{n}$ for $n \geq 0$
Basis steg...: $n = 0 \Rightarrow a_{0} = 1$ og $3^{0} = 1$ OK
Hypotese...: $a_{j} = 3^{j}$ for $0 \leq j \leq k$, for $k \geq 2$
Induksjonssteg...: $a_{k + 1} = 6a_{(k+1)-1} - 9a_{(k+1)-2} = 6a_{k} - 9a_{k-1} = 2*3*3^{k} - 3^{2} * 3^{k-1} = 2*3^{k+1} - 3^{k+1} = 3^{k+1}$ ?
Det er det jeg prøvde. Hypotesen er at formelen stemmer for alle heltall $j$ mellom $0$ og $k$, og dette gjør hypotesen sterkere enn å bare anta at formelen stemmer for $et$ vilkårlig tall $k$ som i "vanlig/enkel" induksjon? Jeg er ikke helt sikker på om hypotesen min er riktig og/eller om jeg bruker den riktig.
Jeg ser at svaret mitt er mangelfullt. Er det noen som har lyst til å vise hvordan man fører dette?
$a_{0} = 1$
$a_{1} = 3$
Skal vise med sterk induksjon at
$a_{n} = 3^{n}$ for $n \geq 0$
Basis steg...: $n = 0 \Rightarrow a_{0} = 1$ og $3^{0} = 1$ OK
Hypotese...: $a_{j} = 3^{j}$ for $0 \leq j \leq k$, for $k \geq 2$
Induksjonssteg...: $a_{k + 1} = 6a_{(k+1)-1} - 9a_{(k+1)-2} = 6a_{k} - 9a_{k-1} = 2*3*3^{k} - 3^{2} * 3^{k-1} = 2*3^{k+1} - 3^{k+1} = 3^{k+1}$ ?
Det er det jeg prøvde. Hypotesen er at formelen stemmer for alle heltall $j$ mellom $0$ og $k$, og dette gjør hypotesen sterkere enn å bare anta at formelen stemmer for $et$ vilkårlig tall $k$ som i "vanlig/enkel" induksjon? Jeg er ikke helt sikker på om hypotesen min er riktig og/eller om jeg bruker den riktig.
Jeg ser at svaret mitt er mangelfullt. Er det noen som har lyst til å vise hvordan man fører dette?