Integrere(1/x) og differensiallikninger

[kreativitetNO]

Jeg jobber med følgende initialverdiproblem:
[tex]y'=x*sin(x)*y,y(0)=1[/tex]

Så jeg flytter litt rundt og kommer fram til:
[tex]\int\frac{1}{y}dy=\int x*sin(x)dx[/tex]
[tex]\ln|y|=-x*cos(x)+sin(x)+c[/tex]

Og som alle som driver å lærer og terper på nytt, tar jeg en liten tur i div online verkøy og sjekker svaret og får alltid noe annet enn det jeg kom fram til. Jeg mener svaret skal være:
[tex]y=\pm e^{-x cos(x)+sin(x)}[/tex]

Men verktøyene nøyer seg med det positive svaret. Er det noe spesiell grunn til det eller er det bare sløvt? Det er ingenting i oppgaven som sier at y ikke kan være negativ (befolkning, tid osv).

[Janhaa]

[tex]\int\frac{1}{y}dy=\int x*sin(x)dx[/tex]
[tex]\ln|y|=-x*cos(x)+sin(x)+c[/tex]

[tex]y=ce^{-x cos(x)+sin(x)}[/tex]

[tex]y(0)=c=1[/tex]

[kreativitetNO]

c er vel 0 siden vi får oppgitt at y(0) er 1 (den går gjennom punktet (0, 1))?

[tex]\ln|1|=0*cos(0)+sin(0)+c[/tex]
[tex]0=0*1+0+c \Leftrightarrow c=0[/tex]

[Kjemikern]

Og som alle som driver å lærer og terper på nytt, tar jeg en liten tur i div online verkøy og sjekker svaret og får alltid noe annet enn det jeg kom fram til. Jeg mener svaret skal være:
[tex]y=\pm e^{-x cos(x)+sin(x)}[/tex]

Men verktøyene nøyer seg med det positive svaret. Er det noe spesiell grunn til det eller er det bare sløvt? Det er ingenting i oppgaven som sier at y ikke kan være negativ (befolkning, tid osv).

[tex]\left | y \right |=e^{x+c}[/tex]

[tex]y=\pm e^{x+c}[/tex]

[tex]y=\pm e^{x}\cdot e^c,\\e^c=C[/tex]

[tex]y=\pm Ce^x\\\pm C=C_1[/tex]

[tex]y=C_1e^x[/tex]

[Kjemikern]

c er vel 0 siden vi får oppgitt at y(0) er 1 (den går gjennom punktet (0, 1))?

[tex]\ln|1|=0*cos(0)+sin(0)+c[/tex]
[tex]0=0*1+0+c \Leftrightarrow c=0[/tex]

$f(x)=Ce^{-x \cos x + \sin x}$, $f(0)=1$


$1=Ce^0$
$C=1$,

Hvilket gir:

$y=e^{-x \cos x + \sin x}$

[kreativitetNO]

Og som alle som driver å lærer og terper på nytt, tar jeg en liten tur i div online verkøy og sjekker svaret og får alltid noe annet enn det jeg kom fram til. Jeg mener svaret skal være:
[tex]y=\pm e^{-x cos(x)+sin(x)}[/tex]

Men verktøyene nøyer seg med det positive svaret. Er det noe spesiell grunn til det eller er det bare sløvt? Det er ingenting i oppgaven som sier at y ikke kan være negativ (befolkning, tid osv).

[tex]\left | y \right |=e^{x+c}[/tex]

[tex]y=\pm e^{x+c}[/tex]

[tex]y=\pm e^{x}\cdot e^c,\\e^c=C[/tex]

[tex]y=\pm Ce^x\\\pm C=C_1[/tex]

[tex]y=C_1e^x[/tex]

Kjempesaker. Takk!

Er det riktig å si at jeg kvitter med meg C'en litt for tidlig når jeg finner den før jeg opphøyer e med begge sider?