vanskelige oppgåver

[hille]

Gjerne gi meg ein forklaring med teskjee på disse oppgavene. sliter virkelig å fatte kva dei meinar og kordan ein skal angripe disse!!!!!

Let abc be triangle such that

[tex]\frac{BC}{AB-BC}=\frac{AB+BC}{AC}[/tex]

determine the ration [tex]\angle A : \angle C[/tex]

skjønner ikke hvor eg skal starte....


Find all functions [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] such that:

[tex]f(2(x)+f(y))=2x+f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}[/tex]



sliter verkeleg med funksjonalikningar, noen tips til lesestoff? kommer til å stryke på dette neste semester...




Let $n$ be an integer greater than or equal to 2. Prove that if $k^2 + k + n$ is prime for all integers $k$ such that $0 \leq k \leq \sqrt{n/3}$, then $k^2 + k + n$ is prime for all integers $k$ such that $0 \leq k \leq n - 2$.


hjelp!!!



if [tex]x^2+y^2+z^2=2(xy+xz+zy)[/tex] and [tex]z,y,z\in\mathbb{R}^+[/tex]

prove that:
[tex]\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

[Gjest]

Hva sags kurs er det du tar som inneholder slike oppgaver?

[Gjest]

Hva sags kurs er det du tar som inneholder slike oppgaver?

Hei, det er utvalte oppgåver fra ein samling gitt frå læreren i Matsh HL klassen min (internasjonal skule)

[stensrud]

Har ikke så god tid akkurat nå, men kan prøve å hjelpe deg litt på vei med et par hint:

• På den første oppgaven er du oppgitt forhold mellom noen lengder, og skal finne ut noe om vinkler. Verktøyet for slike oppgaver er gjerne formlike trekanter. Men, du har ikke noen trekanter med alle sider blant lengdene du har fått i uttrykket, så du må nok omforme uttrykket du er gitt, og kanskje "lage" deg noen nye trekanter ved å tegne nye linjer i figuren. Det ser også ut som du kan bruke trigonometri, men jeg har ikke sjekket det ut, så er ikke helt sikker.
• Hvis funksjonallikningen er skrevet av riktig, så er den triviell (hvorfor?). Hvis ikke, så antar jeg at du mener $f(2f(x)+f(y))=2x+f(y)$. I dette tilfellet kan du vise at $f$ er injektiv, for så få at $f(0)=0$, som du kan sette inn, og få svaret ditt.

[pit]

Siste oppgave var litt merkelig, og på eksamen ville jeg nok ikke kommet lengre enn dette på den oppgaven. Håper noe av dette kan hjelpe, selv om det ikke gir riktig svar.¨

Ettersom vi har gitt at
[tex]x^2+y^2+z^2=2(xy+xz+zy)[/tex] [tex]x,y,z \in \mathbb{R}^+[/tex]


og,
[tex](x+y+z)^2 = (x+y)^2 + 2(x+y)z + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xz + 2yz + 2xy = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+xz+zy)[/tex]

så vil,

[tex](x+y+z)^2 = 4(xy+xz+zy)[/tex]

Får da:

[tex](x+y+z)^3 = 4(x+y+z)(xy+xz+zy)= 12xyz + 4x^2y + 4x^2z + 4xy^2 + 4zy^2 + 4xz^2 + 4z^2y[/tex]

[tex](x+y+z)^3 \geq (x+y+z)^3 -(6xyz + 4x^2y + 4x^2z + 4xy^2 + 4zy^2 + 4xz^2 + 4z^2y) = 6xyz[/tex]
Som gir:

[tex]x+y+z\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

[pit]

obs... [tex]\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

[hille]

takker! eg skal prøve! noko som forresten har lektyre på funksjonallikningar? mitt desidert svakeste område..

[pit]

Når det gjelder funksjoner, så er det viktigste:

- injektivitet
- surjektivitet (onto)
- bijektivitet
- Kombinatorikk knyttet til antall surjektive og antall injektive funksjoner av en eller annen form.
- definisjon på funksjon. Bevis at noe er en funksjon eller ikke.
- Logisk bevisføring for at noe er injektiv
- Logisk bevisføring for at noe er onto.

[Gustav]

if [tex]x^2+y^2+z^2=2(xy+xz+zy)[/tex] and [tex]z,y,z\in\mathbb{R}^+[/tex]

prove that:
[tex]\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

Hvis dette er en eksamenoppgave på vgs. er det noe av det verste jeg har sett. Det ligner mer på en IMO oppgave!

En (stygg) grafisk løsning:

Homogenitet gjør at vi WLOG kan sette x+y+z=1, så betingelsen blir

$4 x^2+4 x y-4 x+4 y^2-4 y+1 = 0\Rightarrow y = \frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)$.

Observerer nå at x må ligge i intervallet $[0,\frac23]$, ellers vil y bli imaginær, og i dette intervallet vil $y=\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)\geq 0$. I tillegg ser vi fra grafen at $x+y=x+\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)\leq 1 $ for $x\in[0,\frac23]$, så $z\geq 0$.

Hvis vi omskriver ulikheten litt nå, så er den ekvivalent med

$1 \geq 54xyz=54xy(1-x-y)=54x(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1))(1-x-(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)))$, så det er nok å vise at

$1-54x(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1))(1-x-(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)))\geq 0$.

Plotter vi venstresida (evt. gjør litt analyse på funksjonen) ser vi at det stemmer for $x\in [0,\frac23]$.

[hille]

if [tex]x^2+y^2+z^2=2(xy+xz+zy)[/tex] and [tex]z,y,z\in\mathbb{R}^+[/tex]

prove that:
[tex]\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}[/tex]

Hvis dette er en eksamenoppgave på vgs. er det noe av det verste jeg har sett. Det ligner mer på en IMO oppgave!

En (stygg) grafisk løsning:

Homogenitet gjør at vi WLOG kan sette x+y+z=1, så betingelsen blir

$4 x^2+4 x y-4 x+4 y^2-4 y+1 = 0\Rightarrow y = \frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)$.

Observerer nå at x må ligge i intervallet $[0,\frac23]$, ellers vil y bli imaginær, og i dette intervallet vil $y=\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)\geq 0$. I tillegg ser vi fra grafen at $x+y=x+\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)\leq 1 $ for $x\in[0,\frac23]$, så $z\geq 0$.

Hvis vi omskriver ulikheten litt nå, så er den ekvivalent med

$1 \geq 54xyz=54xy(1-x-y)=54x(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1))(1-x-(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)))$, så det er nok å vise at

$1-54x(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1))(1-x-(\frac12 (\pm \sqrt(2 x-3 x^2)-x+1)))\geq 0$.

Plotter vi venstresida (evt. gjør litt analyse på funksjonen) ser vi at det stemmer for $x\in [0,\frac23]$.

takk! skal spør foreleseren om han også har ein løsning. som nemd går eg i 3 klasse. Ib (mathematics IB-H -LEVEL., og dette var den del av oppavesamlinga han ga til oss.

[Gustav]

Find all functions [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] such that:

[tex]f(2f(x)+f(y))=2x+f(y) \forall x,y\in \mathbb{R}[/tex]

La x=y. Da er $f(3f(x))=2x+f(x)$ (*)

La x->3f(x): $f(3f(3f(x)))=6f(x)+f(3f(x))$, så

$f(6x+3f(x))=6f(x)+2x+f(x)=7f(x)+2x$

x=0 gir da at $f(3f(0))=7f(0)=f(0)$, der den siste likheten kommer fra (*). Altså er f(0)=0.

x=0 i den opprinnelige ligningen gir nå at $f(f(y))=f(y)$.

y=0 gir likedan at $f(2f(x))=2x$. La x-> f(x) i denne, så fås $f(2f(f(x)))=2f(x)$, så $f(2f(x))=2f(x)=2x$. Altså må $f(x)=x$, som eneste løsning.

[Nebuchadnezzar]

Plutarco den oppgaven der er da virkelig ikke vanskeligere enn hva VGS elever burde få til? Spesielt ikke på VGS.

Ved å gange ut kan en vise at

$ \hspace{1cm}
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 (x y + x z + y z)
$

Bruker en at $x^2+y^2+z^2 = 2 (x y + x z + z y) $ får vi nå

$ \hspace{1cm}
(x + y + z)^2 = 4 (x y + x z + y z)
$

Herfra overlater jeg resten til deg, men det burde være rett frem.

[Gustav]

Herfra overlater jeg resten til deg, men det burde være rett frem.

Hadde vært interessant om du viser løsningen din.

[tiro]

Ad oppgave 1:

Tegn en sirkel med senter i [tex]B[/tex] og radius [tex]BC[/tex].
[tex]C[/tex] ligger altså på periferien av sirkelen.
Sirkelen krysser linjen bestemt av [tex]AB[/tex] i to punkter, [tex]B^{\prime}[/tex] og [tex]B^{\prime\prime}[/tex].
Dessuten krysser sirkelen linjen bestemt av [tex]AC[/tex] i punktene [tex]C[/tex] og [tex]C^{\prime}[/tex]

Da er [tex]AB^{\prime} = AB-BC[/tex] og [tex]AB^{\prime\prime} = AB+BC[/tex]

Skriv det oppgitte uttrykket på formen
[tex]AC\times BC = AB^{\prime} \times A B^{\prime\prime}[/tex]

Anvend setningen om potensen til et punkt med hensyn på en sirkel

https://no.wikipedia.org/wiki/Potens_til_et_punkt

som sier at at
[tex]AB^{\prime} \times AB^{\prime\prime} = AC^{\prime}\times AC[/tex]
og konkluder med at [tex]AC^{\prime} = BC[/tex].

Da blir trekantene [tex]ABC^{\prime}[/tex] og [tex]BCC^{\prime}[/tex] likebente
(to av sidene er lik [tex]BC[/tex]).
Hvis vinkelen i [tex]A[/tex] er [tex]\alpha[/tex] så blir vinkelen i hjørnet [tex]C^{\prime}[/tex]
i trekanten [tex]BCC^{\prime} = 2\alpha[/tex]. På grunn av likebentheten
blir vinkelen i [tex]C[/tex] også [tex]2\alpha[/tex].

Dermed blir svaret [tex]\frac{\alpha}{2\alpha}=\frac{1}{2}[/tex]

[pit]

Herfra overlater jeg resten til deg, men det burde være rett frem.

Hadde vært interessant om du viser løsningen din.

Mistenker det er noe galt med oppgave teksten, da jeg ikke klarte å
få det til å bli noe annet enn.

\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{3}}\geq \sqrt[3]{2xyz}

men, igjen... kansje det er noe jeg ikke forstår

nb! brukte (x+y+z)^2 = ... teknikken.