Trekke røtter av komplekse tall

[JensK]

Jeg skulle gjerne hatt den generelle formelen for å trekke røtter av komplekse tall.
Skal finne røttene til i[sup]1/3[/sup]
Da må jeg vel finne norm og argument, men for norm, skal jeg da kvadrere i[sup]1/3[/sup] og trekke roten av det?

[Solar Plexsus]

Dersom z<>0 er det komplekse tallet re[sup]ix[/sup] = r(cosx + isinx), har z n ulike n-te røtter. Disse er gitt ved formelen

r[sup]1/n[/sup] [ cos((x + 2k[pi][/pi])/n) + isin((x + 2k[pi][/pi])/n)

der k = 0, 1, 2,..., n-1.

[Magnus]

vel:

eulers formel sier:

z = r*|z|*e^(ix) = r*Cos[x] + i*Sin[x]

i dette tilfellet er Arg[x] = pi/2 fordi vi kun har en imaginær del.

hvilket gir

1*e^((pi/2*i+2pi*k*i)/3) = Cos[(pi/2 + 2pi*k)/3] + i*Sin[(pi/2 + 2*pi*k)/3]

Så varierer du bare k mellom 0, 1, 2 og finne de tre løsningene

[JensK]

Er litt rusten jeg, kan noen hjelpe meg på vei?

[Kent]

Skal du finne røttene til
z[sup]3[/sup]=i
?

Det du skrev i ditt første innlegg er nemlig ingen fullstendig oppgave.

[JensK]

Direkte fra oppgaveteksten:

Find all the roots and sketch them as vectors in the complex plane. i[sup]1/3[/sup]

[Kent]

Blir oppgaven forklart litt høyere opp på siden?

Jeg antar at oppgaven skal forstås slik jeg nevnte tidligere.
z[sup]3[/sup]=i
Skriver dette om på formen
w=z[sup]3[/sup]=x+yi=0+1i=i
Vektorens lengde r er gitt ved
r=[rot][/rot](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])=[rot][/rot](0[sup]2[/sup]+1[sup]2[/sup])=1

Argumentet eller vinkelen v mellom positiv x-akse og vektoren i positiv omløpsretning skal tilfredsstille
sinv=x=0 , og cosv=y=1
Dette er tilfredsstilt når v=[pi][/pi]/2.
Min v er den verdien som tidligere i tråden er kalt x.

Så settes r og v inn i formlene:
z=Cos[(v + 2pi*k)/3] + i*Sin[(v + 2*pi*k)/3]=Cos[(pi/2 + 2pi*k)/3] + i*Sin[(pi/2 + 2*pi*k)/3]
Du har z[sub]1[/sub] for k=0, z[sub]2[/sub] for k=1 og z[sub]3[/sub] for k=2.
z[sub]1[/sub]=Cos[(pi/2)/3] + i*Sin[(pi/2)/3]=cos([pi][/pi]/6) + isin([pi][/pi]/6)

z[sub]2[/sub]=Cos[(pi/2 + 2pi)/3] + i*Sin[(pi/2 + 2*pi)/3]=cos(5[pi][/pi]/6)+isin(5[pi][/pi]/6)

z[sub]3[/sub]=Cos[(pi/2 + 2pi*2)/3] + i*Sin[(pi/2 + 2*pi*2)/3]=cos(9[pi][/pi]/6)+isin(9[pi][/pi]/6)

Alternativt kan du også sette inn i formelen
w=re[sup]iv[/sup]
Da er
z=r[sup]1/3[/sup]e[sup]i(v+2k[pi][/pi])/3[/sup]
Så setter du inn de samme verdiene her.

Når du så skal tegne inn vektorene i et Arganddiagram er vektorens lengde r[sup]1/3[/sup] og vinkelen med den positive x-aksen i positiv omløpsretning er (v+k2[pi][/pi])/3.

[JensK]

Da kommer jeg frem til:
cos([pi][/pi]/6) + isin([pi][/pi]/6)
cos(5[pi][/pi]/6)+ isin(5[pi][/pi]/6)
cos(3[pi][/pi]) + isin([pi][/pi])

Er det rett?

[Kent]

Den siste er feil. Vinklene skal være like og de er i første omløp.

[JensK]

3[pi][/pi]/2

[Kent]

Ja, det skulle stemme.