matematikk.net

Er det noen flinke sjeler som kan hjelp meg med dette integralet? [tex]\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}[/tex]
Oppgaven fant jeg her https://math.colorado.edu/~newberry/Spr ... egrals.pdf

Prøver delbrøkoppspalting: [tex]\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}=\frac{a_0}{x}+\frac{a_1}{x+1}+...+\frac{a_n}{x+n}[/tex]

Da får jeg denne likningen: [tex][a_0\cdot (x+1)...(x+n)]+[a_1\cdot x(x+2)...(x+n)]+...+[a_n\cdot x(x+1)...(x+n-1)]=1[/tex]

[tex]x^n(a_0+...+a_n)+x^{n-1}(???)+...+x(a_0n!+a_1n!+\frac{a_2n!}{2}+...+\frac{a_nn!}{n})+a_0n!=1[/tex]

Klarer ikke å få ut så mye annet enn at [tex]a_0=1/n![/tex]

Har ikke løst hele oppgaven, men har sett litt på det, og kan gi et hint, som jeg tror kan hjelpe.

Først og fremst tror jeg du har gjort en feil i likningen din får a'ene.

Du har [tex]a_0(x+1)(x+2)...(x+n)[/tex]
Da er første grads leddet av x styr av :
[tex]x*2*3*...*n+x*1*3...*n+x*1*2*4*...*n\neq x*n![/tex]
men å utlede slike formler kan være en lur idé.

Ellers når du arbeider med slike oppgaver, og du ikke kommer noen vei med en generell n, kan det være lurt å prøve for eksempler.
Om du løser det for n=1,2,3 etc. vil du se ett mønster, og da kan du prøve å bevise at det mønsteret stemmer for en generell n.