Punktene A(CosU, -SinU), B(1,0), C(CosV, SinV) og D(Cos(u+v), Sin(u+v)) ligger på enhetssirklen for alle verdier U og v. Forklar at kordene er like lange og bruk det til å utlede Cos(u+v)??
Her er jeg litt usikker... har gjort noen forsøk, med vektorer, men kommer ikke frem...
trigonometri, vanskelig
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg vet ikke om det blir riktig, men jeg kan jo komme med et løsningsforslag.
Jeg kan ikke se at korden AB nødvendigvis må være lik korden BC, men det skulle ikke være av betydning for å utlede et uttrykk for cos(u+v), som er det jeg forstår som hensikten med oppgaven. For å utlede det uttrykket er det tilstrekkelig å vise at BD=AC.
Du ser kanskje at punktene enkelt kan skrives som polarkoordinater (r,t)? r=1 varierer ikke i denne oppgaven og er ikke interessant. Derimot er vinkelen t interessant. Jeg antar at vinklene U og V er større enn 0 for enkelhets skyld. Det kan gjøres uten tap av generalitet. Vinkelen mellom B og A er -U. Vinkelen mellom B og C er V. Vinkelen mellom A og C er da V-(-U)=U+V. Vinkelen Mellom D og B er (U+V)-0=U+V. Siden r=konstant og vinkelen er lik følger det direkte at kordene mellom AC og BD MÅ være like lange.
AC=r (vektor)
r=(cosv-cosu , sinv-(-sinu))=(cosv-cosu , sinv+sinu)
||r||=[rot][/rot][(cosv-cosu)[sup]2[/sup]+(sinv+sinu)[sup]2[/sup]]=[rot][/rot][cos[sup]2[/sup]v-2cosvcosu+cos[sup]2[/sup]u+sin[sup]2[/sup]v+2sinvsinu+sin[sup]2[/sup]u]=[rot][/rot](2+2sinvsinu-2cosucosv)
BD=s=(cos(u+v)-1 , sin(u+v))
||s||=[rot][/rot][(cos(u+v)-1)[sup]2[/sup] + sin[sup]2[/sup](u+v)]=[rot][/rot](cos[sup]2[/sup](u+v) - 2cos(u+v) + 1 + sin[sup]2[/sup](u+v)) = [rot][/rot](2-2cos(u+v))
r=s
r[sup]2[/sup]=s[sup]2[/sup]
2+2sinvsinu-2cosucosv=2-2cos(u+v)
2sinvsinu-2cosucosv=2-2-2cos(u+v)=-2cos(u+v)
sinvsinu-cosucosv=-cos(u+v)
cos(u+v)=cosucosv-sinvsinu
Jeg kan ikke se at korden AB nødvendigvis må være lik korden BC, men det skulle ikke være av betydning for å utlede et uttrykk for cos(u+v), som er det jeg forstår som hensikten med oppgaven. For å utlede det uttrykket er det tilstrekkelig å vise at BD=AC.
Du ser kanskje at punktene enkelt kan skrives som polarkoordinater (r,t)? r=1 varierer ikke i denne oppgaven og er ikke interessant. Derimot er vinkelen t interessant. Jeg antar at vinklene U og V er større enn 0 for enkelhets skyld. Det kan gjøres uten tap av generalitet. Vinkelen mellom B og A er -U. Vinkelen mellom B og C er V. Vinkelen mellom A og C er da V-(-U)=U+V. Vinkelen Mellom D og B er (U+V)-0=U+V. Siden r=konstant og vinkelen er lik følger det direkte at kordene mellom AC og BD MÅ være like lange.
AC=r (vektor)
r=(cosv-cosu , sinv-(-sinu))=(cosv-cosu , sinv+sinu)
||r||=[rot][/rot][(cosv-cosu)[sup]2[/sup]+(sinv+sinu)[sup]2[/sup]]=[rot][/rot][cos[sup]2[/sup]v-2cosvcosu+cos[sup]2[/sup]u+sin[sup]2[/sup]v+2sinvsinu+sin[sup]2[/sup]u]=[rot][/rot](2+2sinvsinu-2cosucosv)
BD=s=(cos(u+v)-1 , sin(u+v))
||s||=[rot][/rot][(cos(u+v)-1)[sup]2[/sup] + sin[sup]2[/sup](u+v)]=[rot][/rot](cos[sup]2[/sup](u+v) - 2cos(u+v) + 1 + sin[sup]2[/sup](u+v)) = [rot][/rot](2-2cos(u+v))
r=s
r[sup]2[/sup]=s[sup]2[/sup]
2+2sinvsinu-2cosucosv=2-2cos(u+v)
2sinvsinu-2cosucosv=2-2-2cos(u+v)=-2cos(u+v)
sinvsinu-cosucosv=-cos(u+v)
cos(u+v)=cosucosv-sinvsinu