Let $A = k[x]/(x^4)$. Does A have descending chain condition (see Exercise 5). Give a generating set of the ideal $(x,y)^2 ⊆ k[x,y]$. Let $A = k[x, y]/(x, y)^2$. Does A have descending chain condition?
"5. Give reason that Z is a notherian ring. So Z has ascending chain condition (a.c.c). Does Z has descending chain condition (d.c.c.), meaning that a descending chain of ideals [tex]I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq I_{3} \supseteq ...[/tex] Stabilizes"
nummer 5 er bare slengt med for å vise hva som stod der..
Har prøvd litt forskjellige måter på den første delen, men går meg litt fast. Får ikke helt "ideen" min ned på arket.
Så hvis noen har noen hint til denne hadde jeg satt stor pris på det
(helst ikke gi hele svaret med en gang)
The d.c.c.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
A. C. C handler om å dele, og betyr at du ikke kan dele et tall uendelig mange ganger (unntatt med [tex]1[/tex]). F. eks [tex]60=2^2\cdot 3\cdot 5[/tex], vi kan dele etter tur og få noe sånt: [tex]60\overset{\div 5}{\rightarrow}12\overset{\div 3}{\rightarrow}4\overset{\div 2}{\rightarrow}2\overset{\div 2}{\rightarrow}1[/tex], og her må det stoppe. Dette er akkurat det samme som å skrive: [tex](60)\subset (12)\subset (4)\subset (2)\subset (1)=A[/tex] med idealer. (Men du kan sette opp den kjeden på mange måter, f. eks, [tex](60)\subset (15)\subset\dots[/tex])
[tex]\mathbb{Z}[/tex] tilfredsstiller A. C. C, siden hvis du startet med et ideal [tex](n)[/tex] så kan det skrives som [tex](p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_k^{e_k})[/tex], og hvis du da lager en kjede så må den se noe sånt ut [tex](n)\subset \dots \subset (p_i)\subset(1)[/tex], og den stopper.
D. C. C er motsatt, og handler om ganging, og spørsmålet blir da om du kan gange uendelig mange ganger? For å ta et eksempel, hvis vi har [tex]A=\mathbb{Z}[/tex] har vi ingen begrensning på hvor store tall vi kan lage, vi kunne f. eks ha [tex]\dots \subset (40)\subset (20)\subset (10)\subset (5)[/tex] og denne vil aldri slutte. Men tar vi [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] har vi: [tex](0)=(12)\subset (6)\subset (3)\subset (1)=A[/tex], og denne stopper. Så [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] tilfredsstiller D. C. C (må såklart vise at dette gjelder for alle idealer). Hjalp det med idéen?
[tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?
[tex]\mathbb{Z}[/tex] tilfredsstiller A. C. C, siden hvis du startet med et ideal [tex](n)[/tex] så kan det skrives som [tex](p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_k^{e_k})[/tex], og hvis du da lager en kjede så må den se noe sånt ut [tex](n)\subset \dots \subset (p_i)\subset(1)[/tex], og den stopper.
D. C. C er motsatt, og handler om ganging, og spørsmålet blir da om du kan gange uendelig mange ganger? For å ta et eksempel, hvis vi har [tex]A=\mathbb{Z}[/tex] har vi ingen begrensning på hvor store tall vi kan lage, vi kunne f. eks ha [tex]\dots \subset (40)\subset (20)\subset (10)\subset (5)[/tex] og denne vil aldri slutte. Men tar vi [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] har vi: [tex](0)=(12)\subset (6)\subset (3)\subset (1)=A[/tex], og denne stopper. Så [tex]A=\mathbb{Z}_{12}[/tex] tilfredsstiller D. C. C (må såklart vise at dette gjelder for alle idealer). Hjalp det med idéen?
[tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
ble litt usikker nå, men kan det være noe slikt?Kake med tau skrev: [tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?
[tex](1) \supseteq (\bar{x}) \supseteq (\bar{x}^2) \supseteq (\bar{x}^3) \supseteq (\bar{x}^4) = (0)[/tex]
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Korrekt, men du må vise (eller motbevise) at det gjelder for alle nedstigende kjeder av idealer.CharlieEppes skrev:ble litt usikker nå, men kan det være noe slikt?Kake med tau skrev: [tex]A=\frac{k[x]}{(x^4)}=\left\{a_0+a_1\bar x+a_2\bar x^2+a_3\bar x^3\mid a_0, a_1, a_2, a_3 \in k \right\}[/tex] hvordan ser idealene ut her?
[tex](1) \supseteq (\bar{x}) \supseteq (\bar{x}^2) \supseteq (\bar{x}^3) \supseteq (\bar{x}^4) = (0)[/tex]
Hva med denne: $(x+1)$, $(x+1)^2$,... Altså $I_n=((x+1)^n)$ ? Fins det en m slik at $I_n=I_m$ for alle n>m?
Eller hva hvis $k=\mathbb{Z}$, og $I_n=((x+2)^n)$ ?
Hint på den siste:
Vis at $(x+2)^n \, mod(x^4)\not\in ((x+2)^m)$ dersom $m>n$. Dermed vil $I_n$ aldri bli konstant.
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Som en alternativ vei:
Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.
Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] må man vel betrakte som en modul over seg selv, og ikke en k-modul ?Kake med tau skrev:Som en alternativ vei:
Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.
Undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som k-modul, vil vel ikke sammenfalle med undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en modul over seg selv (som er det samme som idealene i ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex]) ?
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Nå kan det hende at jeg er på bærtur, men er ikke [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}\cong k\oplus kx\oplus kx^2\oplus kx^3\cong k^4[/tex], og det er vel en [tex]k[/tex]-modul?plutarco skrev:
Ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] må man vel betrakte som en modul over seg selv, og ikke en k-modul ?
Undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som k-modul, vil vel ikke sammenfalle med undermodulene i [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en modul over seg selv (som er det samme som idealene i ringen [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex]) ?
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Det kan godt hende du har rett, men jeg antok egentlig hele tiden at $A=k[x]/(x^4)$ var betraktet som en ring, og ikke en k-modul, siden alle de tidligere spørsmålene har brukt A som en ring. Men det er klart at du har rett hvis A her er betraktet som k-modulen A.
-
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
Krull dimensjon, er det kap. 5 i Kemper fra pensum?Kake med tau skrev:Som en alternativ vei:
Kanskje det går an å argumentere med dimensjoner, ved å si at [tex]\frac{k[x]}{(x^4)}[/tex] som en [tex]k[/tex]-modul er isomorf til vektorrommet [tex]k^4[/tex] og koble det til Krull-dimensjonen? Er ikke sikker på hvordan man kan gjøre det.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Nei, jeg er usikker jeg også, det står ikke spesifisert noe slikt i oppgaven Men kan du ikke alltid se på ringer som moduler uten å "miste" informasjon?plutarco skrev:Det kan godt hende du har rett, men jeg antok egentlig hele tiden at $A=k[x]/(x^4)$ var betraktet som en ring, og ikke en k-modul, siden alle de tidligere spørsmålene har brukt A som en ring. Men det er klart at du har rett hvis A her er betraktet som k-modulen A.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Jepp, stemmer det! Tenkte at det kanskje var en fin kobling mellom [tex]\dim_k(A)[/tex] (som et vektorrom), og [tex]\dim(A)[/tex] (som dimensjon over ringen). For Krull-dimensjonen er definert som hvor lang den lengste kjeden med primidealer er.CharlieEppes skrev:Krull dimensjon, er det kap. 5 i Kemper fra pensum?
Det er et teorem som sier: [tex]A[/tex] en noethersk ring og [tex]\dim(A)=0\iff A[/tex] artinsk (har D. C. C.)
Tenkte at siden vi vet at [tex]A[/tex] er noethersk så kanskje det går an å vise at [tex]\dim(A)=0[/tex]
Sist redigert av Kake med tau den 24/11-2016 20:33, redigert 1 gang totalt.
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
- Dirichlet
- Innlegg: 159
- Registrert: 05/02-2013 14:12
- Sted: Fetsund
Lærerutdanning Faget her kalles kommutativ algebra.hco96 skrev:Hva er det dere studerer siden dere holder på med det her, om jeg tør spørre?
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
-
- Cantor
- Innlegg: 141
- Registrert: 01/10-2014 17:26
Matematikk(Ren) her, samme emne
Men kjenner jeg har tatt meg litt vann over hodet, når det kommer til disse fagene
Men kjenner jeg har tatt meg litt vann over hodet, når det kommer til disse fagene
Sist redigert av CharlieEppes den 24/11-2016 20:49, redigert 1 gang totalt.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein