Volum ved polarkoordinater

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Volum ved polarkoordinater

Innlegg malloc » 07/03-2017 03:51

Hei! Trenger litt hjelp med en oppgave her.

[tex]z = 1 - \frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{36}[/tex]

Finn volumet av området i første oktant som ligg under paraboloiden.

Hvordan finner jeg grensene for r i dobbeltintegralet her?
malloc offline

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Janhaa » 07/03-2017 11:22

malloc skrev:Hei! Trenger litt hjelp med en oppgave her.
[tex]z = 1 - \frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{36}[/tex]
Finn volumet av området i første oktant som ligg under paraboloiden.
Hvordan finner jeg grensene for r i dobbeltintegralet her?


[tex]81*36=x^2+y^2=r^2[/tex]
DVs
[tex]r=54[/tex]

?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7961
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Freia » 20/02-2020 13:26

Hei, har nesten akkurat samme oppgave, bare ulike tall. Har funnet mine integrasjonsgrense (0<r<36 og 0<@<pi/2), men skjønner ikke noe veldig viktig, nemlig hvordan uttrykket jeg skal integrere ser ut! Har jo gjort om til polarkoordinater for å finne r, men ja, hva skal jeg integrere? Dere kan ta utg.punkt i oppgaven over, så bytter jeg evt med mine tall etterpå
Freia offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 12/02-2020 16:24

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Gustav » 20/02-2020 14:15

malloc skrev:Hei! Trenger litt hjelp med en oppgave her.

[tex]z = 1 - \frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{36}[/tex]

Finn volumet av området i første oktant som ligg under paraboloiden.

Hvordan finner jeg grensene for r i dobbeltintegralet her?


For å bruke polarkoordinater på en enklest mulig måte bør man først skalere koordinatene. Først har vi at volumet er gitt ved

$V=\int_0^9 \int_0^{6\sqrt{1-\frac{x^2}{81}}} 1 - \frac{x^2}{81} - \frac{y^2}{36} \, dydx$.

La $u=\frac{x}{9}$, $v=\frac{y}{6}$. Jacobideterminanten blir $\det{\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}}=54$. Variabelskifte i integralet gir da

$V=54\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-u^2}} 1 - u^2 - v^2 \, dvdu$.

Nå kan man skifte til polarkoordinater, $r^2=u^2+v^2$, der integrasjonsområdet er begrenset av 1.kvadrant i uv-planet, samt sirkelen med radius 1, så

$V=54\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{1} (1 - r^2) \,rdr d\theta= \frac{27\pi}{4} $.

Edit:
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4365
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Mattegjest » 20/02-2020 14:16

Volumkroppen ligg i 1. oktant [tex]\Rightarrow[/tex] x [tex]\geq[/tex] 0 [tex]\wedge[/tex] y [tex]\geq[/tex] 0 [tex]\wedge[/tex] z [tex]\geq[/tex] 0

Paraboloidlikninga kan skrivast på forma

[tex]\frac{x^{2}}{(9\cdot \sqrt{1-x})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{y^{2}}{(6\cdot \sqrt{1-x})^{2}}[/tex] = 1

Arealet av eit snitt parallelt xy-planet blir da

A(z ) = [tex]\frac{\pi \cdot store halvakse\cdot vesle halvakse}{4}[/tex] = [tex]\frac{\pi \cdot 9\sqrt{1-z}\cdot 6\sqrt{1-z}}{4}[/tex] = [tex]\frac{54\pi (1 - z)}{4}[/tex] = [tex]\frac{27\pi (1-z)}{2}[/tex]

Volumet V = [tex]\frac{27\pi }{2}[/tex][tex]\int_{0}^{1}[/tex]( 1- z ) dz = ????????????????????
Mattegjest offline

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Mattegjest » 20/02-2020 14:34

Gustav : Meiner at funksjonaldeterminanten din må vere feil . Overgangen frå dxdy [tex]\rightarrow[/tex] dudv

gir skaleringsfaktor det ( [tex]\frac{dx}{du}[/tex] [tex]\frac{dx}{dv}[/tex])
[tex]\frac{dy}{du}[/tex][tex]\frac{dy}{dv}[/tex]

Enig ?
Mattegjest offline

Re: Volum ved polarkoordinater

Innlegg Gustav » 20/02-2020 14:37

Mattegjest skrev:Gustav : Meiner at funksjonaldeterminanten din må vere feil . Overgangen frå dxdy [tex]\rightarrow[/tex] dudv

gir skaleringsfaktor det ( [tex]\frac{dx}{du}[/tex] [tex]\frac{dx}{dv}[/tex])
[tex]\frac{dy}{du}[/tex][tex]\frac{dy}{dv}[/tex]

Enig ?


Yes, enig. Fort gjort å bytte om på jacobimatrisa :oops:
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4365
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 155 gjester