Trenger hjelp til dette:
Vis at dersom annengradslikningen ax^2+bx+c=0 bare har en rot, så er ax^2+bx+c=a(x-r)^2
Komplekse tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex](x-r)[/tex] er bare en måte å skrive en rot på og er dermed en faktor av polynomet [tex]ax^2+bx+c[/tex].
Vi vet at løsningen på ei polynomiallikning på formen [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] har løsningen (roten) [tex]x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex] som kan skrives som [tex]r[/tex]
Vi vet også at andregradsuttrykk kan faktoriseres på følgende måte [tex]ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a(x-r_1)(x-r_2)=0[/tex] hvor [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] er to røtter (merker at lærebøker ofte skriver [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], men det betyr det samma).
Vi faktoriserer uttrykket [tex]ax^2+bx+c[/tex] med hensyn på løsningen. I og med at vi kun har en rot følger det at [tex]r_1=r_2=r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]. Dette betyr forsåvidt også at [tex]b^2-4ac=0[/tex] som vist av dennis.
Derifra må faktoriseringen bli [tex]a\left ( x - \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right ) \left ( x - \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )[/tex] som dermed fordi [tex]\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = r[/tex] må bli [tex]a(x-r)(x-r)=a(x-r)^2[/tex]
Vi vet at løsningen på ei polynomiallikning på formen [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] har løsningen (roten) [tex]x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex] som kan skrives som [tex]r[/tex]
Vi vet også at andregradsuttrykk kan faktoriseres på følgende måte [tex]ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a(x-r_1)(x-r_2)=0[/tex] hvor [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] er to røtter (merker at lærebøker ofte skriver [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], men det betyr det samma).
Vi faktoriserer uttrykket [tex]ax^2+bx+c[/tex] med hensyn på løsningen. I og med at vi kun har en rot følger det at [tex]r_1=r_2=r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]. Dette betyr forsåvidt også at [tex]b^2-4ac=0[/tex] som vist av dennis.
Derifra må faktoriseringen bli [tex]a\left ( x - \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right ) \left ( x - \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )[/tex] som dermed fordi [tex]\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = r[/tex] må bli [tex]a(x-r)(x-r)=a(x-r)^2[/tex]
Sist redigert av Kay den 30/08-2017 19:02, redigert 3 ganger totalt.
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
$ABC$-formelen sier1234 skrev:Trenger hjelp til dette:
Vis at dersom annengradslikningen ax^2+bx+c=0 bare har en rot, så er ax^2+bx+c=a(x-r)^2
$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$
så vi ser at likningen kun har én løsning hvis og bare hvis $b^2 - 4ac = 0$. Altså, $c = \frac{b^2}{4a}$. Setter vi dette inn i det originale uttrykket ser vi at
$$0 = ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = a(x+\frac{b}{2a})^2,$$
så vi kan sette $r = -\frac{b}{2a}$ for å få likningen på den ønskede formen.
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Ved å anta at uttrykket kan faktoriseres slik blir oppgaven særdeles triviell da. Man viser vel mer eller mindre at "dersom en likning kan skrives på formen $a(x-r)^2 = 0$ så kan likningen skrives på formen $a(x-r)^2 = 0$."Kay skrev: Vi vet også at andregradsuttrykk kan faktoriseres på følgende måte [tex]ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow a(x-r_1)(x-r_2)=0[/tex] hvor [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] er to røtter (merker at lærebøker ofte skriver [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], men det betyr det samma).