erikalexander skrev:1. Følgen {[tex]a_{n}[/tex]} konvergerer mot et tall [tex]a[/tex] dersom det for ethvert reelt tall [tex]\varepsilon >0[/tex] finnes et tall [tex]N \in \mathbb{N}[/tex] slik at [tex]\left | a_{n}-a \right |<\varepsilon[/tex] for alle [tex]n \geq N[/tex]. I så fall skriver vi [tex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a[/tex]
Vet ikke hvor mye dette hjelper, men det var seint og jeg følte meg i det kreative hjørnet!
==============================
Rikerud og K. Ompis går nedover en gate i Kristiania i det flotte været. Det begynner å bli varmt, og vennene bestemmer seg derfor for å kjøpe seg en is hos Sørensens Is. De setter seg ved en benk, for Rikerud har en nyhet å fortelle.
Rikerud:
Du K?
K. Ompis:
Ja?
Rikerud:
Jeg tror det må være noe galt med banken min, fordi jeg ringte her en dag, og de fortalte at [tex]lim_{n\rightarrow\infty}P_n=1'500'000[/tex]
K. Ompis var forfjamset:
Hæ? Hva snakker du om?
Rikerud:
Antall penger jeg har i banken etter uendelig lang tid er bare 1'500'000
K. Ompis:
Det kan da ikke stemme?! Hvis pengene du har nå fortsetter å forrente seg burde du vel ha mere og mere penger hvert år!
Guttene er forvirret, men heldigvis for dem kommer det en gatemusiker forbi. Han er fra Ungarn.
S. Ynsk:
Hei, jeg heter Salomon Ynsk. Vil dere høre en sang?
K. Ompis:
Beklager du, vi sitter og er forvirret
S. Ynsk:
Kanskje jeg kan hjelpe?
Etter at guttene finner ut at S er synsk, får K straks en idé!
K. Ompis:
Hei, S! Hvor mye penger har Rikerud i banken etter at det har gått uendelig mange år?
S tenker, før han sier:
Beklager gutter, jeg kan ikke telle til uendelig. Min for fortalte meg at man blir innlagt tilslutt hvis man prøver å telle så langt
Guttene får en annen idé:
Rikerud:
Hvor lenge er det til jeg har 1'400'000 i banken?
S:
Det er lettere! Ca. 50 år
Rikerud:
Enn 1'480'000 da?
S:
130 år
Rikerud:
1'499'990?
S:
20'000 år
Rikerud:
1'500'000
S:
Hmm... hmm..., hmm...., ehhh....
Rikerud:
1'499'999
S:
1'142'857'000'030'000'301 år
Rikerud:
Hmm? Hvis jeg velger et beløp rett under 1'500'000 men ikke 1'500'000 selv, kan du da alltid si hvor lenge det er til jeg har det beløpet i banken?
S:
Hmm... ja
K. Ompis:
Vel, RIkerud. Siden S alltid vet hvor lenge det er til du har et beløp rett under 1'500'000, så ser det ut som du kommer til å få rundt 1'500'000 tilslutt
Vennene spiser isen, og går hjem for å spille Dark Souls 3.
==============================
Hele idéen med definisjonen er å finne en formell måte å si "nærmer seg" på. Hvordan kan vi si at en følge (antall kroner i banken i historien) nærmer seg en verdi, etter
uendelig mange steg (år)? Trikset er å si at "nærme seg verdien" = "komme så nærme du vil". Det er det [tex]|a_n-a|<\epsilon[/tex] betyr. [tex]\epsilon[/tex] er hvor nærme du vil komme.
Etter at du har bestemt en [tex]\epsilon[/tex], bestemt hvor nærme du vil være verdien, må du vise at du kommer dit på [tex]n[/tex] steg.
I hele historien kan du bytte ut "år" med "n", og "pengesummene som RIkerud foreslår" med "[tex]a_n[/tex]".
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
