Buelengde

[Stein Øyvind]

Hei matteforum, har en oppgave jeg trenger hjelp med:
An object moves along t curve y=x[sup]2[/sup], z=x[sup]3[/sup], with constant vertical speed dz/dt = 3. Find the velocity and acceleration of the object when it is at the point (2,4,8).

Hilsen Stein Øyvind

[trondern]

vektorV=vektor(dv/dt)=[(dx/dt),(dy/dt),(dz/dt)]

For å finne akselerasjonen kan du bruke den dobbelderiverte.

Viss du trenger hjelp til utregningene kan jeg bidra litt seinere, er en smule opptatt atm

[Stein Øyvind]

Det hadde nok ikke skadet om du kunne vist det.

[Solar Plexsus]

dz/dt=3 gir z=3t + C der C er en vilkårlig konstant. Nå er z=x[sup]3[/sup] og y=x[sup]2[/sup], hvilket betyr at

x(t)=(3t + C)[sup]1/3[/sup], y(t)=(3t + C)[sup]2/3[/sup], z(t)=3t + C.

Objektets fartvektor v(t) og akselerasjonsvektor a(t) er gitt ved formlene

v(t) = <x'(t), y'(t), z'(t)> = <(3t + C)[sup]-2/3[/sup], (3t + C)[sup]-1/3[/sup], 3>

a(t) = v'(t) = <x''(t), y''(t), z''(t)> = <-2(3t + C)[sup]-5/3[/sup], -(3t + C)[sup]-4/3[/sup], 0>.

Herav følger at objektets fart og akselerasjon i punktet (2,4,8) (som gir (3t + C)[sup]1/3[/sup]=2) blir hhv.

v((8 - C)/3) = <2[sup]-2[/sup], 2[sup]-1[/sup], 3>
= kv.rot((1/4)[sup]2[/sup] + (1/2)[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup]) = kv.rot(1/16 + 1/4 + 9) = kv.rot(149/16) = kv.rot(149)/4.

a((8 - C)/3) = <-2*2[sup]-5[/sup], -2[sup]-4[/sup], 0> = <-1/16, -1/16, 0>
= kv.rot((-1/16)[sup]2[/sup] + (-1/16)[sup]2[/sup] + 0[sup]2[/sup]) = kv.rot(2)/16.