matematikk.net

Hei. Lurer på hvordan jeg skal løse b oppgaven. Jeg har allerede bevist at det finnes en løsning som er positiv, og jeg har laget et taylor polynom av grad 3. Hvordan skal jeg bruke dette polynomet videre nå? Skal jeg løse det lik 0 eller sette det inn i funksjonen i a?
P3(x)= x - (1/3)*(x^3)

Sett Taylorpolymomet=x^2 og løse for x. Du får x= 0.7913. Dette er en relativt stor feil. Svaret skulle blitt x=0.8336

viking skrev:Sett Taylorpolymomet=x^2 og løse for x. Du får x= 0.7913. Dette er en relativt stor feil. Svaret skulle blitt x=0.8336

Er det rom for litt feil/unøyaktighet eller må svaret være nærmere 0.8336?

Svaret er det svaret oppgaven ba om. Kommentaren var for å diskutere løsningen.

Til de med litt mer matematikk kunnskaper. Er dette en grei forklaring på oppgave a) ?

Viser ved skjæringsetningen at f(x) har et nullpunkt fordi f(1/2) er 0.214 og f(1) er -0.215. Må skjære x en plass.
Fant den andrederiverte og at ligningen har et nullpunkt i x = 0 (Som vi tydelig ser).
Ligningen har kun 1 positiv løsning r fordi den dobbeltderiverte er konkav når x er større enn null (Bare mulig for grafen å skjære x en plass). Vi vet fra før at grafen har et skjæringspunkt i x=0. Dermed har vi bevist at f(x) kun har en positiv løsning.

Det er nok å bruke Rolles teorem for å bevise at det fins maksimalt én positiv løsning:

La $f(x)=\arctan x -x^2$. Merk at $f(0)=0$, og at $f''(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}-2<0\quad \forall x>0$

Anta at $f(x)$ har to positive røtter (nullpunkt), kalt $r,t$ der $r<t$.

Fra Rolles teorem må det finnes en $a\in (0,r)$ og $b\in (r,t)$ slik at $f'(a)=f'(b)=0$. Igjen, av Rolle, må det finnes en $c\in (a,b)$ slik at $f''(c)=0$, som gir en motsigelse siden vi vet at $f''(x)<0$ for alle positive $x$. Altså fins maksimalt én positiv løsning på den opprinnelige ligningen.