matematikk.net

Hvordan skal man gå fram her? B oppgaven var mye mer "rett fram" hvor man fikk oppgitt en funksjon, og brukte sammenligningstesten. Hva skal man gjøre her?

Hva skal man gjøre her?

Det handler ikke så mye om hva man skal gjøre, fordi slike oppgaver har gjerne flere måter å komme frem til riktig svar på.

Eksempelvis kan du bruke sammenlikningstesten her også.

Hint: Hvis $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergerer, så vil $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$.

1. Dersom $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerer, må $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, så det må eksistere en $m$ slik at $a_n<1$ for alle $n> m $. Dermed får vi at

$\sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=1}^m a_n^2 + \sum_{n=m+1}^\infty a_n^2<...$.

2. $\ln(x+1)<x$ for alle positive $x$. Bevis: Betrakt $f(x)=x-\ln (x+1) \Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{x+1}>0$ for alle $x>0$. Siden $f(0)=0$ må $f(x)>0$ for alle $x>0$.

plutarco skrev:1. Dersom $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergerer, må $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, så det må eksistere en $m$ slik at $a_n<1$ for alle $n> m $. Dermed får vi at

$\sum_{n=1}^\infty a_n^2 = \sum_{n=1}^m a_n^2 + \sum_{n=m+1}^\infty a_n^2<...$.

2. $\ln(x+1)<x$ for alle positive $x$. Bevis: Betrakt $f(x)=x-\ln (x+1) \Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{x+1}>0$ for alle $x>0$. Siden $f(0)=0$ må $f(x)>0$ for alle $x>0$.

Kunne du utdypet hvordan du ville gått videre frem på oppgave 2? Er det bare å sette ln(1+an)/an og bruke L'hopitals regel? Får at lim n->inf 1/(1+an)=1>0. Siden vi har antatt at lim n->inf an = 0. Da konvergerer rekka.

Ser riktig ut det ja.

Du kan også bruke

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_comparison_test sammen med ulikheten i mitt forrige innlegg.

edit