matematikk.net

Noen som vet hvordan jeg løser dette, hva er polene?


[tex]\large I=\int_c \frac{z^{2009}}{z^{2010}+z+1}\,dz[/tex]
der
[tex]c:|z|=2[/tex]

Janhaa skrev:Noen som vet hvordan jeg løser dette, hva er polene?


[tex]\large I=\int_c \frac{z^{2009}}{z^{2010}+z+1}\,dz[/tex]
der
[tex]c:|z|=2[/tex]

Når $|z|\geq 2$ er det klart at $z^{2010} + z + 1 \neq 0$. Vi kan derfor utvide konturen til en større sirkel med radius $R$. Det følger at
$$\begin{align*}I & = \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{|z|=R}\frac{z^{2009}}{z^{2010}+z+1}\,dz \text{ }\text{ }\text{ (la nå }z=Re^{i\theta},\text{ så }dz = iRe^{i\theta}d\theta\text{)}\\
& = \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{\left(Re^{i\theta}\right)^{2009}iRe^{i\theta}d\theta}{\left(Re^{i\theta}\right)^{2010} + Re^{i\theta} + 1} \\
& = \int_{\theta=0}^{2\pi}\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\left(Re^{i\theta}\right)^{2009}iRe^{i\theta}d\theta}{\left(Re^{i\theta}\right)^{2010} + Re^{i\theta} + 1}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (ettersom integranden konvergerer på }[0,2\pi]\text{, et kompakt interval, så integranden konvergerer uniformt)} \\
& = \int_{\theta=0}^{2\pi}i\,d\theta \\
& = 2\pi i. \end{align*}$$