matematikk.net

"Anta at $N$ er en normal undergruppe av $O(2)$. Vis at hvis $N$ inneholder en refleksjon så er $N=O(2)$."

Nå kan det godt hende jeg tuller her, men er dette i det hele tatt sant? Vi vet at en undergruppe er normal hvis og bare hvis den er en union av konjugasjonsklasser, og hvis vi definerer
\[N=\{I\}\cup\left\{ \operatorname{ccl}\left[\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 &-1\end{pmatrix}\right] \right\},\]
så er vel ingen rotasjoner med i $N$?

Problemet er at mengden du definerer ikke vil være en undergruppe.
Konjugasjonsklassen til refleksjonen i x-aksen består av alle refleksjonene,
og disse genererer hele $O(2)$.

Antar du bruker definisjonen $\text{ccl}(S)=\{g^{-1}s g|s\in S, g\in G\}$ for delmengder $S$ av $G$. Det er vel relativt fort gjort å vise at man kan oppnå ethvert element i $O(2)$ fra matriseproduktet $g^{-1}\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}g$ ved å sette inn for generelle rotasjons- og refleksjonsmatriser $g$, og bruke noen trigonometriske identiteter.

Brahmagupta skrev:Problemet er at mengden du definerer ikke vil være en undergruppe.
Konjugasjonsklassen til refleksjonen i x-aksen består av alle refleksjonene,
og disse genererer hele $O(2)$.

Aha, enig. I to dimensjoner så må egenverdiene til en refleksjon være $\pm 1$, slik at alle refleksjoner kan diagonaliseres (med en ortogonal matrise) til $\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$ (ikkesant?) - holder det samme i $n$ dimensjoner?

Gustav skrev:Antar du bruker definisjonen $\text{ccl}(S)=\{g^{-1}s g|s\in S, g\in G\}$ for delmengder $S$ av $G$. Det er vel relativt fort gjort å vise at man kan oppnå ethvert element i $O(2)$ fra matriseproduktet $g^{-1}\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}g$ ved å sette inn for generelle rotasjons- og refleksjonsmatriser $g$, og bruke noen trigonometriske identiteter.

Jepp, men ville unngå å regne ut noe som helst for denne oppgaven; kall meg gjerne lat...

Aha, enig. I to dimensjoner så må egenverdiene til en refleksjon være $\pm 1$, slik at alle refleksjoner kan diagonaliseres (med en ortogonal matrise) til $\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1 \end{pmatrix}$ (ikkesant?) - holder det samme i $n$ dimensjoner?

Ja, det stemmer.

La oss si at $A\in O(n)$ er en refleksjon i et hyperplan, hvis den tilhørende lineæravbildningen $T_A$ virker som identiteten på
et underrom $V$ av dimensjon $n-1$, og $T_A(w)=-w$ for alle $w\in V^\perp$. Det er da rett frem å vise at $A=QDQ^{-1}$ for
en passende ortogonal matrise $Q$ og
\[ D = \left( \begin{array}{cc} I_{n-1} & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right ) .\]
Det følger da at enhver hyperplan refleksjon ligger i konjugasjonsklassen til $D$. Man kan videre vise at
enhver matrise $B=PDP^{-1}$ for $P$ ortogonal, vil være en hyperplan refleksjon (sett $V=T_P(\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}$)).
Dermed består konjugasjonsklassen til $D$ av alle hyperplan refleksjoner.

Det er også tilfellet at hyperplan refleksjonene genererer $O(n)$ så slutningen i den opprinnelige oppgaven
vil også stemme for $n\geq 3$.