Laplacetransform
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Per definisjon er Laplacetransformasjonen til cos[sup]2[/sup]t gitt ved det uegentlige integralet
[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos[sup]2[/sup]t dt ... t=0->∞ (Anvender formelen cos(2t) = 2cos[sup]2[/sup]t - 1)
= [itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] (1 + cos(2t))/2 dt ... t=0->∞
= (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] dt ... t=0->∞ + (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos(2t) dt ... t=0->∞
= (1/2)[-e[sup]-st[/sup]/s]...t=0->∞ + (1/2)[e[sup]-st[/sup] (-s cos(2t) + 2 sin(2t))/(s[sup]2[/sup] + 4)]...t=0->∞
(For at disse to uegentlige integralene skal konvergere, må s>0)
= 1/(2s) + (s/[2(s[sup]2[/sup] + 4)]
= (s[sup]2[/sup] + 2) / (s[sup]3[/sup] + 4s) (der altså s>0).
[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos[sup]2[/sup]t dt ... t=0->∞ (Anvender formelen cos(2t) = 2cos[sup]2[/sup]t - 1)
= [itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] (1 + cos(2t))/2 dt ... t=0->∞
= (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] dt ... t=0->∞ + (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos(2t) dt ... t=0->∞
= (1/2)[-e[sup]-st[/sup]/s]...t=0->∞ + (1/2)[e[sup]-st[/sup] (-s cos(2t) + 2 sin(2t))/(s[sup]2[/sup] + 4)]...t=0->∞
(For at disse to uegentlige integralene skal konvergere, må s>0)
= 1/(2s) + (s/[2(s[sup]2[/sup] + 4)]
= (s[sup]2[/sup] + 2) / (s[sup]3[/sup] + 4s) (der altså s>0).