matematikk.net

Kva blir Laplacetransformen til cos^2(t) ?

Per definisjon er Laplacetransformasjonen til cos[sup]2[/sup]t gitt ved det uegentlige integralet

[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos[sup]2[/sup]t dt ... t=0->∞ (Anvender formelen cos(2t) = 2cos[sup]2[/sup]t - 1)

= [itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] (1 + cos(2t))/2 dt ... t=0->∞

= (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] dt ... t=0->∞ + (1/2)[itgl][/itgl] e[sup]-st[/sup] cos(2t) dt ... t=0->∞

= (1/2)[-e[sup]-st[/sup]/s]...t=0->∞ + (1/2)[e[sup]-st[/sup] (-s cos(2t) + 2 sin(2t))/(s[sup]2[/sup] + 4)]...t=0->∞
(For at disse to uegentlige integralene skal konvergere, må s>0)

= 1/(2s) + (s/[2(s[sup]2[/sup] + 4)]

= (s[sup]2[/sup] + 2) / (s[sup]3[/sup] + 4s) (der altså s>0).