Maoam skrev:Hei jeg sliter med en oppgave med Skalarprodukt
Oppgaven:
La e1 være en horisontal enhetsvektor og la e2 være en vertikal enhetsvektor.
Vektoren V=4*e1+6*e2
a) Tegn vektorene
b) Finn Lengden av V
c) Finn vinkelen mellom V og e1
d) Regn ut skalarproduktet v*e1
e) Finn skalarproduktet v*e2
Jeg har nettopp begynt å jobbe med Skalar så hadde satt pris på om det kunne vært en liten forklaring langs utregningen
Oppgave b
Kaller vektoren V for $\textbf{v}$.
La oss skrive $\textbf{v}$ på komponentform $(x,y)$.
$$\textbf{v} = (4,6)$$
Lengden (også kalt normen) til $\textbf{v}$ må da være gitt ved $|\textbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$
$$ | \textbf{v} |= \sqrt{4^2 + 6^2} = 2 \sqrt{13} $$
Oppgave c
Vi vet at enhetsvektoren $\vec{e_1} = (1,0)$.
Vi bruker formelen for skalarproduktet og utleder en formel for vinkelen mellom de to vektorene:
$$ \textbf{v}\cdot \vec{e_1} = |\textbf{v}| \cdot |\vec{e_1}| \cdot \cos \alpha $$
der vi har kalt vinkelen mellom de for $\alpha$.
Vi omformer uttrykket og får:
$$ \cos \alpha = \frac{\textbf{v}\cdot \vec{e_1}}{|\textbf{v}| \cdot |\vec{e_1}|} $$
Vi bruker nå den omvendte funksjonen til cosinus ($\arccos$, oftest $cos^{-1}$ på kalkulatoren.):
$$\alpha = \arccos\bigg(\frac{\textbf{v}\cdot \vec{e_1}}{|\textbf{v}| \cdot |\vec{e_1}|}\bigg) = \arccos\bigg(\frac{ (4,6)\cdot (1,0)}{2\sqrt{13}\cdot \sqrt{1^2}}\bigg) = \arccos\bigg(\frac{4 + 0}{2\sqrt{13}}\bigg) = 56.30 ^o $$.
Oppgave d
Skalarproduktet mellom $\textbf{v}$ og $\vec{e_1}$ blir:
$$ \textbf{v}\cdot\vec{e_1} = (4,6)\cdot(1,0) = 4\cdot1 + 6\cdot0 = 4$$.
Likedan kan du gjøre i oppgave e, men med $\vec{e_2} = (0,1)$.
Jeg vekslet mellom å bruke tykk bokstav og vektorpil over bokstaven for å representere vektorer i oppgaven. Ideelt sett skulle jeg skrevet alle med tykke bokstaver, men jeg fikk ikke skrevet enhetsvektorene med indekser når jeg prøvde å få de i fét skrift.
