Linjeintegraler
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei! Jeg har nettopp lært å regne ut linjeintegraler i kartesiske koordinater, og jeg lurer på om det er mulig å gjøre det samme i kulekoordinater - hvor vanlig er det?
Linjeintegralet til [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] langs en parametrisert kurve [tex]C[/tex] gitt ved parametrisering [tex]r(t), 0 \leq t \leq 1[/tex] er definert som
[tex]\int_C f = \int_0^1 f(r(t))|r'(t)|dt[/tex]
der høyresiden er det vanlige Riemann-integralet. Kulekoordinater er ikke noe annet enn et basisskifte for å gjøre et integral (i rommet) enklere å løse. Det har altså ikke noe å gjøre med et linjeintegral, men et hjelpemiddel for å transformere et integral til noe som er lettere å håndtere. Siden et linjeintegral er Riemann-integral av en funksjon i en variabel [tex]t[/tex], så gir det heller ikke mening å snakke om kulekoordinater.
Det er hvert å merke at man kan se på linjeintegralet av vektorevaluerte funksjoner, komplekse funksjoner, og på glatte mangfoldigheter. Svaret over gjelder fortsatt.
For en geometrisk tolkning av linjeintegralet i et skalarfelt:
[tex]\int_C f = \int_0^1 f(r(t))|r'(t)|dt[/tex]
der høyresiden er det vanlige Riemann-integralet. Kulekoordinater er ikke noe annet enn et basisskifte for å gjøre et integral (i rommet) enklere å løse. Det har altså ikke noe å gjøre med et linjeintegral, men et hjelpemiddel for å transformere et integral til noe som er lettere å håndtere. Siden et linjeintegral er Riemann-integral av en funksjon i en variabel [tex]t[/tex], så gir det heller ikke mening å snakke om kulekoordinater.
Det er hvert å merke at man kan se på linjeintegralet av vektorevaluerte funksjoner, komplekse funksjoner, og på glatte mangfoldigheter. Svaret over gjelder fortsatt.
For en geometrisk tolkning av linjeintegralet i et skalarfelt: