Flerdim

[Apple]

Skjønner ikke denne jeg:

Find the coordinates of all points on the surface with equation z = x[sup]4[/sup] - 4xy[sup]3[/sup] + 6y[sup]2[/sup] -2, where the surface has a horizontal tangent plane.

Jeg kan å derivere med flere variable og finne tangetlinje, men ikke mer.

[Solar Plexsus]

I et punkt der tangentplanet er horisontalt, er dz/dx = dz/dy = 0. Nå er

dz/dx = 4x[sup]3[/sup] - 4y[sup]3[/sup] = 4(x[sup]3[/sup] - y[sup]3[/sup]),

dz/dy = 12xy[sup]2[/sup] + 12y = 12y(xy + 1).

For at dz/dx=0, må x[sup]3[/sup]=y[sup]3[/sup], dvs. at x=y. Dermed blir

dz/dy = 12x(x[sup]2[/sup] + 1)

Så dz/dx=dz/dy=0 hvis og bare hvis x=y=0. M.a.o. er (0,0,-2) det eneste punktet på overflaten som har et horisontal tangentplan.

[Apple]

Kjempegreier, det der forstod jeg jo faktisk.
Bare lurte på en ting, når man deriverer dz/dy, tar man da ikke hensyn til det minuset foran xy-leddet?

[Solar Plexsus]

Du har rett! Det skal selvsagt være

dz/dy = -12xy[sup]2[/sup] + 12y = 12y(1 - xy).

dz/dx=0 hvis og bare hvis x=y, så dz/dy=0 innebærer at

12x(1 - x[sup]2[/sup]) = 0

x=0, x=-1 eller x=1.

Konklusjon: (0,0,-2), (-1,-1,1) og (1,1,1) er de eneste punktene på overflaten som har et horisontal tangentplan.