Finn alle løsninger til følgende system av kongruenser:
x ≡ 4 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 17)
Kongruens
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi har gitt de to simultane kongruensene
(1) x ≡ 4 (mod 11),
(2) x ≡ 3 (mod 17)
Kongruens (2) er ekvivalent med
(3) x = 3 + 17s
der s er et vilkårlig heltall. Settes dette inn i (1), får vi at
3 + 17s ≡ 4 (mod 11)
6s ≡ 1 (mod 11) (Multipliserer med 2)
12s ≡ 2 (mod 11)
s ≡ 2 (mod 11)
M.a.o. er s = 2 + 11t der t er et vilkårlig heltall. Innsatt i (3) blir resultatet
x = 3 + 17(2 + 11t) = 3 + 34 + 187t = 37 + 187t.
Dermed kan vi konkludere med at (1)-(2) har løsningen
x ≡ 37 (mod 187).
(1) x ≡ 4 (mod 11),
(2) x ≡ 3 (mod 17)
Kongruens (2) er ekvivalent med
(3) x = 3 + 17s
der s er et vilkårlig heltall. Settes dette inn i (1), får vi at
3 + 17s ≡ 4 (mod 11)
6s ≡ 1 (mod 11) (Multipliserer med 2)
12s ≡ 2 (mod 11)
s ≡ 2 (mod 11)
M.a.o. er s = 2 + 11t der t er et vilkårlig heltall. Innsatt i (3) blir resultatet
x = 3 + 17(2 + 11t) = 3 + 34 + 187t = 37 + 187t.
Dermed kan vi konkludere med at (1)-(2) har løsningen
x ≡ 37 (mod 187).