Partiell derivasjon og stasjonære punkter

[katten97]

Hei!

Jeg skal finne stasjonære punkter til f(x,y).
Jeg har regnet ut at f'x = 2xy - 2x og at f'y = x^2 - 1.

For å finne de stasjonære punktene må jo både f'x = 0 og f'y = 0. For f'x får jeg at y = 1 og at x = 0 eller x = 1, mens for f'y får jeg at x = 1 eller -1.
Jeg får altså at de stasjonære punktene er (1,0) og (-1,1), men i fasiten står det derimot at x ≠ 0.
Hvorfor kan ikke x være 0 når det også gir at f'x = 0?

[erikalexander]

Men hvis x = 0, så er jo ikke f'y = 0 oppfylt?

[Janhaa]

Hei!
Jeg skal finne stasjonære punkter til f(x,y).
Jeg har regnet ut at f'x = 2xy - 2x og at f'y = x^2 - 1.
For å finne de stasjonære punktene må jo både f'x = 0 og f'y = 0. For f'x får jeg at y = 1 og at x = 0 eller x = 1, mens for f'y får jeg at x = 1 eller -1.
Jeg får altså at de stasjonære punktene er (1,0) og (-1,1), men i fasiten står det derimot at x ≠ 0.
Hvorfor kan ikke x være 0 når det også gir at f'x = 0?

eller er det vel greit å oppgi:
[tex]f(x,y)=?[/tex]

[Markus]

Jeg har ikke jobbet noe mye med flervariabel kalkulus enda, så ta det jeg sier med en god klype salt. Vi har $\frac{\partial f }{\partial x} = 2xy-2x$ og $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2-1$, og setter begge disse to lik null; $$x^2-1=0 \implies (x+1)(x-1)=0 \therefore x=\pm 1$$ Dette gir følgende løsninger for $y$ $$x=1 \enspace : \enspace 2y-2=0 \therefore y=1 \\ x=-1 \enspace : \enspace -2y+2 = 0 \therefore y=1$$ Som gir de stasjonære punktene $$P_1 = (1,1) \enspace \wedge \enspace P_2 = (-1,1)$$
$x=0$ kan ikke være en gyldig løsning siden $0^2-1 \neq 0 \implies \frac{\partial f}{\partial y}\neq0$, og da vil vi ha tilfellet $0=\frac{\partial f}{\partial x} \neq \frac{\partial f}{\partial y}$

[katten97]

Tusen takk!