Rekursjon

[Gjest]

Lag en rekursiv metode som beregner det n-te leddet i tallfølgen:

{a[sub]n[/sub]} definert ved a[sub]0[/sub]= 1 og a[sub]n[/sub] = 3a[sub]n-1[/sub] + 7n[sup]2[/sup] for n >= 1.

[Solar Plexsus]

Den eksplisitte løsningen er på formen

a[sub]n[/sub] = p*3[sup]n[/sup] + qn[sup]2[/sup] + r n + s

der p, q, r og s er konstanter. Dette medfører

3a[sub]n-1[/sub] = 3*(p*3[sup]n-1[/sup]) + 3q(n - 1)[sup]2[/sup] + 3r(n - 1) + 3s = p*3[sup]n[/sup] + 3qn[sup]2[/sup] + (-6q + 3r)n + 3q - 3r + 3s.

Dermed blir

7n[sup]2[/sup] = a[sub]n[/sub] - 3a[sub]n-1[/sub] = -2qn[sup]2[/sup] + (6q - 2r)n + -3q + 3r - 2s.

Altså må -2q=7 og 6q - 2r = -3q + 3r - 2s = 0, som gir q = -7/2, r = 3q = -21/2 og s =3(r - q)/2 = 3(3q - q)/2 = 3*(2q)/2 = 3q = r = -21/2.

M.a.o. er

a[sub]n[/sub] = p*3[sup]n[/sup] - (7/2)(n[sup]2[/sup] + 3n + 3).

Nå er 1 = a[sub]0[/sub] = p - 21/2, dvs. at p = 23/2. Følgelig blir

a[sub]n[/sub] = [ 23*3[sup]n[/sup] - 7(n[sup]2[/sup] + 3n + 3) ] / 2.