matematikk.net

Hallo hallo,
Noen som vet om det er mulig å skrive [tex]\: f(x) = \frac{x}{1+x^2}\:[/tex] som summen av en geometrisk rekke, dersom [tex][tex][/tex]|x|<1[tex][tex][/tex] ?

Isåfall vise hvordan

Gjest skrev:Hallo hallo,
Noen som vet om det er mulig å skrive [tex]\: f(x) = \frac{x}{1+x^2}\:[/tex] som summen av en geometrisk rekke, dersom [tex][tex][/tex]|x|<1[tex][tex][/tex] ?

Isåfall vise hvordan

$|x| < 1 \implies |x^2| < 1$, så $$f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac{x}{1 - (-x^2)} = x\cdot\frac{1}{1-(-x^2)} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}x(-x^2)^n.$$