Linjeintegral av vektorfelt over lukkede kurver

[erikalexander]

Er det slik at dersom linjeintegralet av et vektorfelt over én lukket kurve er null, så er linjeintegralet over alle lukkede kurver null?

[Nebuchadnezzar]

Dersom vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte så er påstandene

$ \hspace{1cm}
\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 \ \Leftrightarrow \nabla \varphi = \mathbf{F}
$

ekvivalente. Hvor $C$ da følgelig er en lukket sløyfe. Og det siste utsagnet sier at $\mathbf{F}$ har en potensialfunksjon, som impliserer at linjeintegralet over alle lukkede sløyfer er null. Altså en impliserer alle gitt att vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte.

[stensrud]

Dersom vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte så er påstandene

$ \hspace{1cm}
\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 \ \Leftrightarrow \nabla \varphi = \mathbf{F}
$

ekvivalente. Hvor $C$ da følgelig er en lukket sløyfe. Og det siste utsagnet sier at $\mathbf{F}$ har en potensialfunksjon, som impliserer at linjeintegralet over alle lukkede sløyfer er null. Altså en impliserer alle gitt att vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte.

(Jeg lurer litt på dette selv). Krever ikke dette også at domenet til $\mathbf{F} $ er enkelt sammenhengende? Et moteksempel kan være
\[ \mathbf{F}=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right), \]
som på $\mathbb{R}^2\backslash\{ 0 \}$ er lik $\nabla \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$. Hvis vi integrerer $\mathbf{F} $ over in sirkel i planet som ikke inneholder origo så vil integralet være lik $0$, men over enhetssirkelen så er integralet $2\pi$. De partiellderiverte av $\mathbf{F} $ er kontinuerlige på $\mathbb{R}^2\backslash\{ 0 \}$ og det finnes en lukket kurve over hvilke linjeintegralet av $\mathbf{F} $ er $0$, men dette er ikke nok til å implisere at linjeintegralet av $\mathbf{F} $ over en vilkårlig lukket kurve er $0$.

[Nebuchadnezzar]

Du så på det eksempelet til Tom Lindstrøm du og? Hadde tenkt å skrive det som mot-eksempel, men fikk ikke null når jeg regnet ut et linjeintegral som ikke inneholdt null. Om ikke området er sammenhengende så kan heller ikke vektorfeltet ha kontinuerlige partiellderiverte. Tror dog kravet om kontinuerlige partiellderiverte er strengere enn enkelt-sammenhengende.

[stensrud]

Er ikke kjent med Lindstrøm, så det virker som det heller er et standard eksempel.

Om ikke området er sammenhengende så kan heller ikke vektorfeltet ha kontinuerlige partiellderiverte. Tror dog kravet om kontinuerlige partiellderiverte er strengere enn enkelt-sammenhengende.

Stemmer dette? Hvorfor er ikke de partiellderiverte kontinuerlige i dette tilfellet - vi definerer jo $\mathbf{F}$ kun på $\mathbb{R}^2\backslash\{0\}$?

Når det gjelder det integralet jeg regnet ut selv så kan det godt hende at jeg har regnet feil, så jeg prøver på nytt her: Betrakt (den lukkede) kurven $C$ parametrisert via
\[ C:[0,2\pi]\ni t\mapsto \mathbf{x}(t)=(\cos t+1,\sin t +1). \]
(Dette burde være en sirkel som ikke inneholder origo). Da er
\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot \mathop{d\mathbf{x}}=\int_0^{2\pi}\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right)\cdot \left(-\sin t,\cos t\right) \mathop{dt}=\int_0^{2\pi}\frac{-y(-y+1)}{x^2+y^2}+\frac{x(x-1)}{x^2+y^2}\mathop{dt}, \]
som igjen er lik
\[ \int_0^{2\pi}1-\frac{(x+y)}{x^2+y^2}\mathop{dt}=\int_0^{2\pi}1-\frac{2+\cos t+\sin t}{3+2(\cos t +\sin t)} \mathop{dt}. \]
Wolfram Alpha sier at dette er lik $0$.

[Gustav]

Betingelsene for at et vektorfelt F er konservativt på et (åpent) område $D$, er at $D$ er enkeltsammenhengende, at vektorfeltet er kontinuerlig deriverbart på $D$, og at curl F =0 på hele $D$.

Det er riktig som stensrud sier, at vektorfeltet på $D=\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$, er kontinuerlig deriverbart på hele området, men området i seg selv er ikke enkeltsammenhengende, så eksempelet viser hvordan et vektorfelt ikke nødvendigvis er konservativt selv om både curlen er 0 og feltet er kontinuerlig deriverbart (og selv om en kontinuerlig deriverbar potensialfunksjon eksisterer).

[Nebuchadnezzar]

Takker for oppklaringen! Dette burde jo strengt talt sitte

[Gustav]

Edit: Slettet innlegg med feil etter korreksjon fra mentos

[Mentos]

Det trengs et par oppklaringer her:

Et ([tex]C^2[/tex]) vektorfelt [tex]F \colon U\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex] er konservativt på [tex]U[/tex] dersom det finnes et skalarfelt [tex]\phi \colon U \to \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]\nabla \phi = F[/tex]. Her er det ingen betingelser på mengden [tex]U[/tex], og for at gradienten skal gi mening trenger vi ikke kreve mer enn at skalarfeltet er [tex]C^1[/tex] på [tex]U[/tex]. Vi har følgene implikasjoner:

[tex]\begin{align} F \text{ konservativ} &\implies \text{Integralet rundt lukkede kurver er 0} \\ F \text{ konservativ} &\implies \text{curl} \ F=0 \iff \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \end{align}[/tex]

Disse implikasjonene er ikke ekvivalenser (Det er mulig et felt er konservativt hvis integralet rundt _alle_ lukkede kurver forsvinner, men dette er uansett en håpløs betingelse å sjekke), men _hvis_ området [tex]U\subset \mathbb{R}^n[/tex] er enkeltsammenhengende så vil vi ha [tex]F \text{ konservativ} \iff \text{curl} \ F=0[/tex]. Merk at dette er gitt et enkeltsammenhengende område og at det ikke betyr at [tex]F \text{ konservativ} \iff \text{curl} \ F=0 \text{ og } U \text{ enkeltsammenhengende}[/tex]. For å se dette, ta et hvilket som helst konservativt felt og restrikter det til et område som ikke er enkeltsammenhengende.

[Gustav]

Dersom vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte så er påstandene

$ \hspace{1cm}
\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 \ \Leftrightarrow \nabla \varphi = \mathbf{F}
$

ekvivalente. Hvor $C$ da følgelig er en lukket sløyfe. Og det siste utsagnet sier at $\mathbf{F}$ har en potensialfunksjon, som impliserer at linjeintegralet over alle lukkede sløyfer er null. Altså en impliserer alle gitt att vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte.

(Jeg lurer litt på dette selv). Krever ikke dette også at domenet til $\mathbf{F} $ er enkelt sammenhengende? Et moteksempel kan være
\[ \mathbf{F}=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right), \]
som på $\mathbb{R}^2\backslash\{ 0 \}$ er lik $\nabla \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$. Hvis vi integrerer $\mathbf{F} $ over in sirkel i planet som ikke inneholder origo så vil integralet være lik $0$, men over enhetssirkelen så er integralet $2\pi$. De partiellderiverte av $\mathbf{F} $ er kontinuerlige på $\mathbb{R}^2\backslash\{ 0 \}$ og det finnes en lukket kurve over hvilke linjeintegralet av $\mathbf{F} $ er $0$, men dette er ikke nok til å implisere at linjeintegralet av $\mathbf{F} $ over en vilkårlig lukket kurve er $0$.

Problemet her er vel at $\arctan \frac{y}{x}$ ikke er definert på linja $x=0$ i $\mathbb{R}^2$, så det er ikke et skalarpotensial på $\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$.

[stensrud]

Problemet her er vel at $\arctan \frac{y}{x}$ ikke er definert på linja $x=0$ i $\mathbb{R}^2$, så det er ikke et skalarpotensial på $\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$.

Sant, men kan ikke det fikses ved å bruke potensialet
\[ a(\mathbf{x})=\begin{cases}\arctan\left( \frac{y}{x} \right) & x\neq 0\\ \frac{\pi}{2} & x=0,y>0\\ -\frac{\pi}{2} & x=0,y<0.\end{cases} \]

[Gustav]

Den partiellderiverte av denne funksjonen mhp x vil vel ikke eksistere i punkter (0,y) der $y\neq 0$, da den ikke er kontinuerlig. Dermed kan ikke vektorfeltet uttrykkes som gradienten av denne funksjonen i punktene (0,y).