Volum av legeme, multiple integraler

[gggeir]

Hei! Jeg sliter litt med å forstå sammenhengen ved at man enkelte ganger finner volumet av et legeme ved å integrere to ganger, mens andre ganger integrerer man tre? Noen som har en link eller enkel forklaring på sammenheng?

[Mentos]

Hvis [tex]C[/tex] er et område i [tex]\mathbb{R}^2[/tex] så er arealet gitt ved [tex]\int \! \! \! \int_C 1 \ dx dy[/tex]. På samme måte er volumet av et området [tex]D[/tex] i [tex]\mathbb{R}^3[/tex] gitt ved [tex]\int \! \! \! \int \! \! \! \int_D 1 \ dxdydz[/tex]. Ofte har man et område i [tex]\mathbb{R}^3[/tex]avgrenset av to funksjoner [tex]f(x,y)[/tex] og [tex]g(x,y)[/tex], si [tex]f(x,y) \leq g(x,y)[/tex]. Da kan du se for deg at du for hvert punkt i den to-dimensjonale projeksjonen [tex]C[/tex] ned i xy-planet, integrerer høyden fra [tex]f(x,y)[/tex] til [tex]g(x,y)[/tex], altså [tex]\int \! \! \! \int_C \! \int_{f(x,y)}^{g(x,y)} 1 \ dxdydz=\int \! \! \! \int_C g(x,y)-f(x,y) \ dxdy[/tex]. Så ofte, hvis vi har et området avgrenset av to funksjoner, integrerer vi differansen direkte for å få volumet til det begrensede området. På samme måte ser man fra definisjonen av disse integralene at hvis du integrerer en positiv funksjon [tex]f(x,y)[/tex] gir det volumet under flaten den definerer. Du kan også tolke integralet over som "volumet under flaten til [tex]g[/tex] minus volumet under flaten [tex]f[/tex]". Her antar vi at alle funksjoner er ikke-negative for å slippe fortegnsrot ved geometriske tolkninger. Man ser da at når [tex]f(x,y)=1[/tex] reduseres volumet til et areal.