Konvekse mengder

[SliterLitt]

Hei, jeg sliter litt med en oppgave, da jeg ikke er sikker på hvordan den skal gjøres.

a) Beskriv mengden A + B i følgende tilfelle

i) $A = B = \left \{(x_1,x_2) : 0 \leq x_1 \leq 1 \, og \, 0 \leq x_2 \leq 1 \right \}$

Her tenker jeg at mengden A + B beskriver en firkant i første kvadrant med hjørner (0,0), (1,0), (1,1) og (0,1)

ii) $A = \left \{(x_1,x_2) : 0 \leq x_1 \leq 1 \, og \, 0 \leq x_2 \leq 1 \right \} \, og \, B = \left \{(x_1,x_2) : x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \right \} $

[SliterLitt]

Fortsetter her.

På den andre oppgaven ser jeg at A beskriver samme mengde som over, mens mengde B nå beskriver en sirkel med radius 1 og sentrum i orgio. Begge er konvekse mengder, men ser ikke helt hvordan summen av disse blir konvekse siden Man kan trekke en linje mellom A og B hvor en del av linjen vil ligge utenfor A + B. Har jeg misforstått noe?

[DennisChristensen]

Hei, jeg sliter litt med en oppgave, da jeg ikke er sikker på hvordan den skal gjøres.

a) Beskriv mengden A + B i følgende tilfelle

i) $A = B = \left \{(x_1,x_2) : 0 \leq x_1 \leq 1 \, og \, 0 \leq x_2 \leq 1 \right \}$

Her tenker jeg at mengden A + B beskriver en firkant i første kvadrant med hjørner (0,0), (1,0), (1,1) og (0,1)

ii) $A = \left \{(x_1,x_2) : 0 \leq x_1 \leq 1 \, og \, 0 \leq x_2 \leq 1 \right \} \, og \, B = \left \{(x_1,x_2) : x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \right \} $

I slike oppgaver er det lurt å tenke geometrisk. For hvert punkt i $A$ ønsker vi å "legge på" en kopi av $B$. Rent formelt har vi at $$A + B = \{a+b |a\in A, b\in B\} = \bigcup_{a\in A}\left(a + B\right) = \bigcup_{a\in A}\{a + b | b\in B\}.$$

(i) Her ser vi direkte at $$ A + B = \{(x_1,y_1) + (x_2,y_2) | 0\leq x_1, y_1, x_2, y_2 \leq 1\} = \{(x_1 + x_2,y_1 + y_2) | 0\leq x_1, y_1, x_2, y_2 \leq 1\} = \{(x,y) | 0\leq x,y\leq 2\} = [0,2]\times [0,2] = [0,2]^2.$$

(ii) Her er den geometriske intuisjonen svært nyttig. Vi tenker at vi "legger på en disk med radius $1$ på hvert punkt i $A = [0,1]^2.$ Vi ender med mengden $$A + B = [-1,2]\times[0,1] \cup [0,1]\times[-1,2]\cup \bigcup_{i=1}^4\mathcal{B}(x_i, 1),$$ der $\{x_i | 1\leq i\leq 4\}$ er hjørnene til kvadratet $[0,1]^2$ og $\mathcal{B}(x,1)$ er den lukkede disken med sentrum i $x$ og radius $1$. Geometrisk tilsvarer $A + B$ figuren vedlagt nedenfor: