Følgende oppgave får jeg ikke til, jeg tror den muligens er litt vrien.
Given a function f(x,y) and a point (a,b) in its domain, define single-variable functions g and h as follows:
g(x) = f(x,b) and h(y) = f(a,y)
If g is continous at x=a and h is continous at y=b, does it follow that f is continous at (a,b)? Conversely, does the continuity of f at (a,b) guarantee the continuity of g at a and the continuity of h at b? Justify your answers.
Grenser og kontinuitet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Første del:
Nei, det følger ikke at f er kontinuerlig. I det flerdimensjonale tilfelle er det ikke tilstrekkelig at funksjonen er kontinuerlig bare langs rette linjer, i dette tilfellet parallelt med hhv. x- og y-aksen. Funksjonen må være kontinuerlig langs ALLE linjer som går gjennom punktet. F.eks. er funksjonen f(x,y)=xy/(x^2+y^2) hvis (x,y) ikke er (0,0) , f(0,0)=0. Denne funksjonen er kontinuerlig når du nærmer deg origo langs aksene, men ikke f.eks. langs y=x.
Andre del:
Siden en funksjon i flere variable bare er kontinuerlig hvis alle linjer gjennom punktet funksjonen er kontinuerlig i, må nødvendigvis det faktum at f er kont. implisere at g og h er kontinuerlige.
Nei, det følger ikke at f er kontinuerlig. I det flerdimensjonale tilfelle er det ikke tilstrekkelig at funksjonen er kontinuerlig bare langs rette linjer, i dette tilfellet parallelt med hhv. x- og y-aksen. Funksjonen må være kontinuerlig langs ALLE linjer som går gjennom punktet. F.eks. er funksjonen f(x,y)=xy/(x^2+y^2) hvis (x,y) ikke er (0,0) , f(0,0)=0. Denne funksjonen er kontinuerlig når du nærmer deg origo langs aksene, men ikke f.eks. langs y=x.
Andre del:
Siden en funksjon i flere variable bare er kontinuerlig hvis alle linjer gjennom punktet funksjonen er kontinuerlig i, må nødvendigvis det faktum at f er kont. implisere at g og h er kontinuerlige.