matematikk.net

Find the coordinates of all points on the surface with equation z = x[sup]4[/sup] - 4xy[sup]3[/sup] + 6y[sup]2[/sup] - 2 where the surface has a horizontal tangent plane.

Hm, ja, hjelp.

Her er det enkelt å trekke en sammenligning med det 1-dimensjonale tilfellet. Hvis du har en funksjon f(x) har den en horisontal tangent når stigningstallet f'(x)=0. I det flerdimensjonale tilfellet er det egentlig akkurat likt, bare at du her må kreve at ikke bare stigningstallet i x-retning, men også i de andre retningene må være 0. Du har en funksjon z=f(x,y). Regn ut alle de første ordens part. deriv. og finn de x,y-verdiene som svarer til at de part. deriv. blir 0. Sett så disse verdiene inn i z=f(x,y) og du finner den siste koordinaten.

Du bør ikke lese løsningsforslaget før du har forsøkt å løse oppgaven selv.




Altså
z = f(x,y) = x^4 - 4xy^3 + 6y^2 - 2
dz/dx=4x^3-4y^3
Krever
dz/dx=4x^3-4y^3=0 , får x=y
dz/dy=12xy^2+12y
Krever
dz/dy=12xy^2+12y , får xy^2=-y , y=0 er en løsning og x=y=0. Antar y ikke er 0. får med innsetting av x=y at x^2=-1. Det gir ingen reell løsning.
Setter inn x=y=0 i z og får z=-2

Eneste punkt med horisontal tangentplan er altså (0,0,2)

Ehm, fasiten sier (0,0), (1,1) og (-1,-1)!

Denne oppgaven har undertegnede løst tidligere. Se linken

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#18119

Som du der, har signaturen "Kent" og undertegnede gjort akkurat samme fortegnsfeil i utregningen av dz/dy. Vi fikk begge at dz/dy=12xy[sup]2[/sup] + 12y, men det skal være dz/dy=12xy[sup]2[/sup] - 12y. Etter at denne feilen er rettet opp, får du fasitsvaret.

Ja ser der ja, takk skal du ha.