Trenger sårt hjelp med denne ...

[Gjest]

Hei,
Jeg vet ikke hvor jeg skal begynne.
Hvordan hadde du gått fram for å løse disse oppgavene?

https://imgur.com/a/B5QkC

[Gjest]

det er oppgave b) jeg sitter fast i, kan noen vise utregningen for den please?

[DennisChristensen]

det er oppgave b) jeg sitter fast i, kan noen vise utregningen for den please?

Fra definisjonen til tyngdepunktet $\mathbb{t}\in\mathbb{R}^2$ har vi at $\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x, t_y\right),$ der $$M = \frac12(a+b)\text{ }\text{ (fra oppgave (a)),}$$ $$t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}A$$ og $$t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}A.$$ Klarer du resten selv nå?

[Gjest]

nei, det er nettopp det jeg sitter fast i, altså å regne ut [tex]\: t_x\:[/tex] og [tex]\: t_y \:[/tex]. Kan du please vise utregningen step by step for begge tyngdekoordinatene, det er første gang jeg løser en slik oppgave, please ..

[Gjest]

Kan du please vise det, jeg ser det ikke ...

[Gjest]

Da får jeg:

[tex](\frac{x}{2(a+b)},\frac{y}{2(a+b)})[/tex]

Stemmer det?

[Gjest]

Mente:

[tex](\frac{x}{(a+b)},\frac{y}{(a+b)})[/tex]

Kan det stemme?

[Gjest]

Eller er det:

([tex]\frac{1}{2} (a-(a-b)x), \frac{1}{2} (a-(a-b)y)[/tex])

[Gjest]

i det sistnevnte satte jeg øvre og nedre grensen til det andre integralet hhv. h(x)=a-(a-b)x og 0. Men man skulle kanskje ikke sette de noen grenser på det andre integralet i det hele tatt, som det følger av formelen din over?

[Gjest]

[tex]t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}=\frac{1}{2} x[/tex]

[tex]t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}=\frac{1}{2} y[/tex]

Og siden M, altså arealet er kjent, så:

[tex]\frac{2}{(a+b)} \cdot (\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} y)[/tex]

Ganger inn og får:

([tex]\frac{x}{(a+b)}, \frac{y}{(a+b)}[/tex])

Er dette koordinatene til tyngdepunktet?

[DennisChristensen]

Tyngdepunktet er et fast geometrisk punkt på figuren, ikke en funksjon av $x$ eller $y$. Integrerer vi får vi at $$t_x = \iint_{\mathcal{T}}x\,\text{d}A = \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{a-(a-b)x}x\,\text{d}y\,\text{d}x = \int_{x=0}^1x\left(a-(a-b)x\right)\,\text{d}x = \int_{x=0}^1\left(ax - (a-b)x^2\right)\,\text{d}x = \left[\frac12ax^2 - \frac13(a-b)x^3\right]_{x=0}^1 = \frac12a - \frac13(a-b) = \frac13b + \frac16a.$$
På samme vis finner du $t_y$, og så er tyngdepunktet gitt ved $\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x,t_y\right).$ Klarer du resten selv nå?

[Gjest]

Hvordan finner jeg tyngdepunktet når jeg har:

[tex]\mathbb{t} = \frac{1}{M}\left(t_x,t_y\right)[/tex]

Kan du finne den ene hvertfall, jeg skjønner ikke hvordan jeg skal plotte inn hva her. Jeg vet at M er lik 1/2 (a+b), men hva står t for og hva står (t_x,t,y) for? Hvis t_x står for den ene koordinaten til tyngdepunktet, har ikke du da allerede funnet den av integralet over? Så hva er vitsen med å sette inn. Kan du please vise hvordan man finner tyngdepunktet, sånn kalkulert step by step altså please Dennis...?

[Gjest]

[tex](\frac13b + \frac16a) \cdot 2 (a+b)[/tex]

Er det slik? Altså dette er x koordinaten til tyngepunktet?

[DennisChristensen]

[tex](\frac13b + \frac16a) \cdot 2 (a+b)[/tex]

Er det slik? Altså dette er x koordinaten til tyngepunktet?

Det er nesten riktig. Som jeg har forklart i mitt første innlegg, er $x$-koordinaten til tyngdepunktet $\frac{t_x}{M}$. Vi vet at $M = \frac12(a+b)$ og at $t_x = \frac13b + \frac16a$, så $x$-koordinaten blir $$\frac{t_x}{M} = \frac{\frac13b + \frac16a}{\frac12(a+b)} = \frac{\frac23b + \frac13a}{a+b} = \frac{a + 2b}{3(a+b)}.$$

Du regner så ut $t_y$ fra integralet $$t_y = \iint_{\mathcal{T}}y\, \text{d}A = \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{a-(a-b)x}y\,\text{d}y\,\text{d}x,$$ og finner $y$-koordinaten til tyngdepunktet ved å dividere med $M$: $$y-\text{koordinaten til tyngdepunktet} = \frac{t_y}{M}.$$

[Gjest]

tusen hjertelig takk skal du ha Dennis, du er en god hjelper i matte