matematikk.net

Hei! Jeg holder på med en oppgave hvir jeg skal bruke Greens teorem, hvor jeg står litt fast. Oppgaven er slik:
La C være enhetssirkelen med sentrum i origo, orientert med klokken. Regn ut *integraltegn med sirkel på midten og c på bunnen* (x^(2)+6y)dx + (2x+y^(6))dy. Jeg har regnet ut partiellderiverte og får -4, men vet ikke hvordan jeg går frem derifra med grenser osv. Hjelp

Gå til polarkoordinater med grenser [tex]0 \leq r \leq 1[/tex] og [tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex].

mattelise skrev:Hei! Jeg holder på med en oppgave hvir jeg skal bruke Greens teorem, hvor jeg står litt fast. Oppgaven er slik:
La C være enhetssirkelen med sentrum i origo, orientert med klokken. Regn ut *integraltegn med sirkel på midten og c på bunnen* (x^(2)+6y)dx + (2x+y^(6))dy. Jeg har regnet ut partiellderiverte og får -4, men vet ikke hvordan jeg går frem derifra med grenser osv. Hjelp

Du kan gjøre det han/hun over sa. Men det viser seg at dobbeltintegralet av 1 over et område A gir følgende:

$$ \iint_A 1 \ dxdy = \text{areal}(A)$$ altså dobbeltintegralet av funksjonen 1, gir deg arealet til området A i xy-planet.

Vi kan bruke dette slik: $$ \iint_A -4 \ dxdy = -4 \iint_A 1 \ dxdy = -4 \cdot \text{areal}(A)$$.

Siden området du integrerer over har en kjent arealformel, kan du enkelt bare bruke denne formelen og gange med -4.

Dette funker så klart bare hvis du kjenner en enkel arealformel for området, men dette viser seg å dukke opp nokså ofte når du anvender Greens teorem.

Tusen takk for svar!

Slik jeg forstår deg kan jeg regne det ut på denne måten:

-4 * Pi*r^(2) (siden Pi*r^2 er formelen for arealet av en sirkel), men da ender jeg opp med svaret -4Pi, som viser seg ikke å være riktig. Har jeg gjort noe galt her?

mattelise skrev:Tusen takk for svar!

Slik jeg forstår deg kan jeg regne det ut på denne måten:

-4 * Pi*r^(2) (siden Pi*r^2 er formelen for arealet av en sirkel), men da ender jeg opp med svaret -4Pi, som viser seg ikke å være riktig. Har jeg gjort noe galt her?

jeg antar svaret egentlig er $4\pi$

Grunnen til dette handler om orienteringen til kurven. Siden kurven er orientert med klokken, må du snu fortegnet på integralet ditt. Greens teorem forutsetter nemlig at kurven C løpes gjennom mot klokken. (jeg leste ikke oppgaveteksten så nøye).

Tusen takk; nå ble det riktig