Find the volume generated by rotating about the x-axis the region lying under the astroid x=a*cos[sup]3[/sup]t and y=a*sin[sup]3[/sup]t and above the x-axis.
V = [pi][/pi] [itgl][/itgl] [sub]a[/sub][sup]b[/sup] g(t)[sup]2[/sup] *f'(t) dt, er formelen som gjelder. Men det jeg ikke skjønner er at jeg skal rotere området under og over x-aksen om x-aksen, hvordan lar det seg gjøre? Som regel er det bare det over ELLER under som skal roteres. Og hvordan skal jeg finne grensene?
Jeg vil gjerne ha litt guideing, men ikke svaret.
Volum av omdreiningslegeme
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det området du skal rotere, er det som befinner seg over x-aksen og under grafen til astroiden. Integrasjonsgrensene er de to t-verdiene i intervallet [0,2[pi][/pi]) som gir y(t)=0, dvs. sint=0. Altså blir t=0 og t=[pi][/pi] integrasjonsgrensene.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er
[g(t)][sup]2[/sup]*f'(t) = [asin[sup]3[/sup]t][sup]2[/sup]*(acos[sup]3[/sup]t)' = (a[sup]2[/sup]sin[sup]6[/sup]t)*(3acos[sup]2[/sup]t*(-sint)) = -3a[sup]3[/sup] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t.
Dermed blir volumet
V = -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t dt ... t=[pi][/pi]->0 (Bruker substitusjonen u=cost)
= -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t u[sup]2[/sup] du/(-sint) ... u=cos[pi][/pi]->cos0
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]6[/sup]t u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] (1 - u[sup]2[/sup])[sup]3[/sup]*u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup] - 3u[sup]4[/sup] + 3u[sup]6[/sup] - u[sup]8[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [u[sup]3[/sup]/3 - 3u[sup]5[/sup]/5 + 3u[sup]7[/sup]/7 - u[sup]9[/sup]/9] ... u=-1->1
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (1/3 - 3/5 + 3/7 - 1/9)
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (105 - 189 + 135 - 35)/315
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup]*(16/315).
= 32[pi][/pi]a[sup]3[/sup]/105.
[g(t)][sup]2[/sup]*f'(t) = [asin[sup]3[/sup]t][sup]2[/sup]*(acos[sup]3[/sup]t)' = (a[sup]2[/sup]sin[sup]6[/sup]t)*(3acos[sup]2[/sup]t*(-sint)) = -3a[sup]3[/sup] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t.
Dermed blir volumet
V = -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t cos[sup]2[/sup]t dt ... t=[pi][/pi]->0 (Bruker substitusjonen u=cost)
= -3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]7[/sup]t u[sup]2[/sup] du/(-sint) ... u=cos[pi][/pi]->cos0
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] sin[sup]6[/sup]t u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] (1 - u[sup]2[/sup])[sup]3[/sup]*u[sup]2[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup] - 3u[sup]4[/sup] + 3u[sup]6[/sup] - u[sup]8[/sup] du ... u=-1->1
= 3[pi][/pi]a[sup]3[/sup] [u[sup]3[/sup]/3 - 3u[sup]5[/sup]/5 + 3u[sup]7[/sup]/7 - u[sup]9[/sup]/9] ... u=-1->1
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (1/3 - 3/5 + 3/7 - 1/9)
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup] (105 - 189 + 135 - 35)/315
= 6[pi][/pi]a[sup]3[/sup]*(16/315).
= 32[pi][/pi]a[sup]3[/sup]/105.
-
Jerry
Åiåi, her får jeg virkelig si takk, det var flott og grundig ført, det nok nok litt tid. Takk for hjelpen, "integrasjonskurset" - også kalt analyse, fortsetter!
mvh Jerry
mvh Jerry