Areal til område i første kvadrant avgrenset av kurver

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Geiko

Jeg skal finne arealet til området i 1. kvadrant som er avgrenset av kurvene
xy=1
xy=7
y=e^(1)x
y=e^(5)x

Skal være helt ærlig å si at jeg vet ikke hvor jeg skal begynne. Hjelp?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Geiko skrev:Jeg skal finne arealet til området i 1. kvadrant som er avgrenset av kurvene
xy=1
xy=7
y=e^(1)x
y=e^(5)x

Skal være helt ærlig å si at jeg vet ikke hvor jeg skal begynne. Hjelp?
Først og fremst kan vi erkjenne at arealet av området er gitt ved

$$ \iint_A 1 \ dxdy $$

Vi ser at

$$ 1 \leq xy \leq 7$$

og

$$ e \leq \frac{y}{x} \leq e^5$$

der du bare kan dele på x i begge likningene og få disse begrensningene.

La oss innføre to variable $$u = xy \ \text{og} \ v=\frac{y}{x}$$.

Da blir grensene enkelt og greit

$$ 1 \leq u \leq 7$$

og

$$ e \leq v \leq e^5$$


integralet blir nå

$$ \iint_A 1 \ dxdy = \iint_D |J| \ dudv $$

der J er jacobideterminanten. (Tips, regn ut jacobideterminanten til u,v i stedet for x,y og deretter da den inverse av denne for enklere derivasjon).
Svar